基于结构化稀疏模型的压缩感知重构改进算法

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ＇￣Ｊ＂算机工程与应用　２０１３，４９（１４）　２０３　＠信号处理＠　基于结构化稀疏模型的压缩感知重构改进算法　杨爱萍，栗　改，侯正信，庞　茜　ＹＡＮＧ　Ａｉｐｉｎｇ，ＬＩ　Ｇａｉ，ＨＯＵ　Ｚｈｅｎｇｘｉｎ，ＰＡＮＧ　Ｑｉａｎ　天津大学电子信息工程学院，天津３０００７２　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３０００７２，Ｃｈｉｎａ　ＹＡＮＧ　Ａｉｐｉｎｇ，ＬＩ　Ｇａｉ，ＨＯＵ　Ｚｈｅｎｇｘｉｎ，ｅｔ　ａ１．Ｎｅｗ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ｓｐａｒｓｅ　ｍｏｄｅ１．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，４９（１４）：２０３—２０６．　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｎｏｒｍａｌ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ＣＳ　ｏｎｌｙ　ｕｓｅ　ｓｉｇｎａｌ　ａｎｄ　ｉｍａｇｅ　ｓｐａｒｓｅ　ｐｒｉｏｒｓ　ｕｎｄｅｒ　ｗａｖｅｌｅｔ，ｍａｋｅ　ｎｏ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒｅｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｐｒｉｏｒｓ．Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｓｉｇｎａｌ　ｑｕｉｃｋｌｙ　ａｎｄ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｂｒｉｎｇｓ　ｔｈｅ　ｔｒｅｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｓｐａｒｓｅ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎｔｏ　ＳＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＣｏＳａＭＰ－ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｎｄ　ｇｅｔｓ　ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ．Ｃｏｍｂｉｎ・　ｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ｓｐａｒｓｅ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｄｕａｌ－ｔｒｅｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ａ　ｎｅｗ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ＣＳ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｈｉｇｈｅｒ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｉｍａｇｅ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　Ｓｅｎｓｉｎｇ（ＣＳ）；ｓｔｕｃｔｒｕｒｅｄ　ｓｐａｒｓｅ　ｍｏｄｅｌ；ｄｕａｌ—ｔｒｅｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　摘要：目前，标准的ＣＳ重构算法仅利用信号和图像在小波变换下的稀疏先验信息，而并没有利用变换系数具有的结构　化特性。为了能够快速精确地重建原始信号，将结构化稀疏模型与ｓＰ算法、ＣｏＳａＭＰ算法相结合，提出了压缩感知重构的　改进算法。另外，将基于双树复小波变换的系数结构模型融入上述算法，进一步提高重构性能。实验结果表明，所提出的　算法可获得更高的图像重建质量。　关键词：压缩感知；结构化稀疏模型；双树复小波变换　文献标志码：Ａ　中图分类号：ＴＰ３９１　ｄｏｉ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２．８３３１．１２０２．０５５０　１　引言　重构算法作为压缩感知理论　中的关键环节，一直备　受关注。近几年来，提出了多种重构算法：基追踪（ＢＰ）算　法　，匹配追踪（ＭＰ）算法　】，正交匹配追踪（ＯＭＰ）算法　］，子　了压缩感知重构新算法。实验结果表明，本文提出的新算　法重建精度更高，运算时间更短。　２　ＣＳ模型　ＣＳ理论　指出，如果一个信号在某变换下是稀疏或可　空间（ｓｐ）算法　和压缩采样匹配追踪（ＣｏＳａＭＰ）算法　等。　这些标准ＣＳ算法仅利用信号和图像在某变换下系数的稀　疏性，而并未利用变换系数的结构分布特点。针对图像小　波变换后的树结构，Ｂａｒａｎｉｕｋ等人提出了基于小波树结构　的模型化方法　，证明了将描述信号小波系数分布的结构　模型引入到ｃｓ重构理论的正确性及有效性。文献［８］将信　号小波系数呈树状分布用于ＭＰ和ＯＭＰ算法中。文献［９］　提出了小波系数块分布模型并用于ＯＭＰ算法。本文将小　压缩的，那么它可以通过在一个与变换矩阵不相关的空间　基上的少量投影恢复出来。ｃｓ模型的矩阵表示形式为：　Ｊ，＝　（１）　其中Ｙ∈Ｒ　表示观测向量，　是　×Ⅳ（Ｍ《Ｎ）的测量　矩阵，且　是固定的、不依赖于信号　，其列向量称为原　子。　ｅＲ№。是一个Ｎｘ　１的离散实值信号向量且在基　＝　１，ｌ；ｆ，　，…，　．ｖ］下是稀疏的，即　Ⅳ　＝波系数结构模型与重构质量较好的ｓＰ算法相结合提出相　应的改进算法；在此基础上，针对小波变换的缺陷，将基于　双树复小波变换　”　的系数结构模型融入上述算法，提出　基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６１００２０２７）。　Ｅ　瓤＝　。　（２）　其中　是Ｎｘ　１的系数矩阵，　是内积Ｓ　：＜ｘ，　＞＝　作者简介：杨爱萍，女，博士，副教授，研究领域：图像及视频处理、压缩感知理论及应用；栗改，女，硕士生，研究领域：压缩感知理论及应　用；候正信，教授，博导，研究领域：图像及视频处理；庞茜，硕士，研究领域：压缩感知理论及应用。Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｇａｉ８２５＠１６３．ｃｏｒｎ　收稿日期：２０１２—０３－１９　修回日期：２０１２—０５．０７　文章编号：１００２．８３３Ｉ（２０１３）１４．０２０３．０４　ＣＮＫＩ出版日期：２０１２—０８—０２　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２１２７．ＴＰ．２０１２０８０２．０９００．００１．ｈｔｍｌ　２０４　２０１３，４９（１４）　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用　算树中以每个节点根的每个子树小波系数平均值的绝对　值，把绝对值中的最大值作为该节点的能量（称此能量最　大的节点为超节点），并保留超节点对应的子树的全部系　数，最优子树集就由这些系数组成，从而实现树结构最优　的思想。　。向量Ｘ和　是对同一个信号的等价表示，只是表达　方式不同，Ｘ是时间域或空间域的，ｓ是　域的。将式（２）　代入式（１）得：　Ｙ＝ＣＩ￣Ｘ＝　＝Ｏｓ　（３）　其中Ｏ＝　，Ｏ∈Ｒ　，称为ＣＳ信息算子。由于观测维　数　《Ｎ，所以从Ｊ，的　个观测值中解出信号Ｘ是很困　将基于小波树结构的模型化方法和ｓＰ算法相结合，形　成Ｍｂ—ＳＰ算法。Ｍｂ．ＳＰ算法步骤：　难的。由于式（３）中　仅有　个非零系数，这就为求解Ｘ　提供了可能。通过求解式（３）的逆问题解得　，然后再将ｓ　代入式（２）即可求得　。因此ＣＳ理论重构问题的实质就　（１）初始化：初始残差ｒｎ＝Ｊ，，候选向量０　＝０∈Ｒ　，迭　代次数为ｔ　，迭代变量ｆ＝１，结构化稀疏估计为　。　是在已知测量向量Ｙ和测量矩阵　的条件下，如何快速、　准确和稳定地重构原始信号　。　３基于小波树结构的模型化方法　经研究发现，在相同稀疏度和测量数目条件下，贪婪　算法中的子空间（ｓｐ）算法和压缩采样匹配追踪（ＣｏＳａＭＰ）　算法在整体性能上优于其他算法。本章基于小波树结构　模型提出Ｍｂ．ＳＰ算法和Ｍｂ．ＣｏＳａＭＰ算法。　３．１　ＳＰ算法　ｓＰ算法步骤如下：　（１）初始化：初始残差　＝Ｊ，，候选向量０　＝０∈Ｒ　，迭　代次数为ｔ　，迭代变量ｔ＝１。　（２）更新索引：计算　＝　一　，寻找　中Ｋ个最大元　素的位置Ａ　＝ｓｕｐ（　『】），新的索引Ｊ＝ｉ，＝　Ｕ　ｓｕｐ（０ｆ＿１）。　（３）更新候选向量：计算　＝　Ｊ，，新的候选向量０　＝　　ｌ。　（４）更新余差：ｒ　＝　—ｑ｝０，。　（５）迭代次数加１，验证迭代停止的条件。若ｔ＜ｔ　，则　返回步骤（２）；否则执行步骤（６）。　（６）输出重建信号：　，＝　。其中　∈Ｒ价　为测量　矩阵，　∈Ｒ　为基矩阵。Ｙ∈Ｒ　为观测向量，信号ｘ∈Ｒ　的稀疏度为　。　３．２　Ｍｂ．ＳＰ算法和Ｍｂ．ＣｏＳａＭＰ算法　图像经小波变换后自然形成小波系数的四叉树结构，　边缘和纹理对应的大系数和光滑部分的小系数通常聚集　在树的分支上。具体地，如果某一个尺度下的系数很小，　那么此系数的子系数也通常较小，这说明了小波系数具有　树结构稀疏性。将稀疏度为　拘树结构稀疏信号定义为　：　ｒ　，一１　２ｉ　］　ＦＫ＝Ｘ＝ｒｏｙ＋￣２Ｗｉ，ｊ￣Ｌｔｉ，ｊ：ＷＩｇｆ＝０，１Ｑ１＝Ｋ｝　（４）　Ｌ　ｉ　０Ｊ　１　Ｊ　由式（４）可知Ｑ中的小波系数形成了相连的子树集，而不　属于　中的小波系数近似为零，即，　为由　中小波系数　子树集组成的树结构稀疏信号，且满足稀疏度为　。实现　树结构稀疏信号　重构，需用最佳　项树结构稀疏逼近　取代普通的　项稀疏逼近，即求解以下优化问题：　Ｓ（ｘ，Ｋ）＝ａｒｇｍｉｎｌｌｘ一　，　（５）　采用压缩分类选择算法（ＣＳＳＡ）　求解式（５）。首先计　（２）更新索引：计算　＝　ｒ　，寻找　中Ｋ个最大元　素的位置Ａ　＝ｓｕｐ（　１．．），新的索引　＝／１，ｕ　ｓｕｐ（０　）。　（３）更新候选向量：计算　＝　Ｙ，新的候选向量０　＝　ｆ　。　（４）更新余差：，，＝Ｊ，一　，。　（５）更新估计信号：　。　（６）迭代次数加１，验证迭代停止的条件。若ｆ＜ｔ　返回　步骤（２）；否则执行步骤（７）。　（７）输出重建信号Ｘ　。　类似地，把ＣｏＳａＭＰ算法和小波树结构的模型化方法　相结合得到Ｍｂ．ＣｏＳａＭＰ算法。　４基于双树复小波变换的新算法　４．１　双树复小波变换（ＤＴ＿ＣｗＴ）　针对传统离散小波不具有平移不变性和方向选择性　差的缺点，Ｋｉｎｇｓｈｕｒｙ等人提出在同一数据上用两个的　小波变换平行作用来实现复数小波变换　。二维双树复小　波变换如图１所示。它包含两个平行的小波树，其中树ａ的　滤波器组表示复数小波变换的实部，树ｂ的滤波器组表示　复数小波变换的虚部。易知，其由四个平行的２维离散小　行　列　低频　｝高频　（　，Ｙ）　图１　二维双树复小波变换　２０６　２０１３，４９（１４）　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用　法和Ｍｂ—ＣｏＳａＭＰ算法相结合，提出ＤＴＣ．Ｍｂ．ＳＰ算法和　还是主观质量提出的新算法都得到了显著改善。　窍　Ｚ∞　为了进一步验证算法性能，比较它们在不同压缩率下　ＤＴＣ・Ｍｂ－ＣｏＳａＭＰ算法，重建效果得到进一步改善。　的峰值信噪比。图３给出了在压缩率分别为Ｍ／Ｎ：０．１，　０．２，…，０．８时各算法的ＰＳＮＲ值。　参考文献：　［１］Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ　Ｌ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００６，５２（４）：１２８９—１３０６．　【２］Ｃｈｅｎ　Ｓ，Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ　Ｌ，Ｓａｕｎｄｅｒｓ　Ｍ　Ａ．Ａｔｏｍｉｃ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｂｙ　ｂａｓｉｓ　ｐｕｒｓｕｉｔ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ　Ｓｃｉ　Ｃｏｍｐ，１９９９，２０（１）：３３—６１．　【３］Ｍａｌｌａｔ　Ｓ　Ｇ，Ｚｈａｎｇ　Ｚ　Ｆ．Ｍａｔｃｈｉｎｇ　ｐｕｒｓｕｉｔｓ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ—ｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｆｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１　９９３，　４１（１２）．　［４］Ｄａｖｅｎｐｏｒｔ　Ｍ　Ａ，Ｗａｋｉｎ　Ｍ　Ｂ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｏ￣ｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｃｈ—　ｉｎｇ　ｐｕｒｓｕｉｔ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ　ｉｓｏｍｅｔｒｙ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２０　１　０，５６（９）．　［５】Ｄａｉ　Ｗ，Ｏｌｇｉｃａ　Ｍ．Ｓｕｂｓｐａｃｅ　ｐｕｒｓｕｉｔ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ　ｓｅｎｓｉｎｇ：　压缩率　ｃｌｏｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｇａｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ［Ｊ］．　ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００９，５５（５）：　２２３０－２２４９．　（ａ）几种算法峰值信噪比的比较１　［６］Ｎｅｅｄｅｌｌ　Ｄ，Ｔｒｏｐｐ　Ｊ　Ａ．ＣＯＳＡＭＰ：ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｆｒｏｍ　ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ　ａｎｄ　ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ　ｓａｍｐｌｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｃｏｍｐｕｔ　Ｈａｒｍｏｎ　Ａｎａｌ，２００８：３０１－３２１．　［７］Ｂａｒａｎｉｕｋ　Ｒ　Ｇ，Ｃｅｖｈｅｒ　Ｖ，Ｄｕｎｃｅ　Ｍ　Ｆ，ｅｔ　ａ１．Ｍｏｄｅｌ—ｂａｓｅｄ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ　ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｉｌ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２０１０，５６（４）：１９８２—２００１．　［８］Ｄｕａ￣ｅ　Ｍ　Ｆ．Ｆａｓｔ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｒａｎｄｏｍ　ｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔ　ｐｒｏ—　ｊｅｃｔｉｏｎｓ［Ｒ］．Ｈｏｕｓｔｏｎ：Ｒｉｃｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，ｔ２００５．　［９］Ｙｏｎｉｎａ　Ｃ　Ｅ，Ｈｅｌｍｕｔ　Ｂ．Ｂｌｏｃｋ—ｓｐａｒｓｉｔｙ：ｃｏｈｅｒｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｉ—　压缩率　ｃｉｅｎｔ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ［Ｃ］／／ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ａｃｏｕｓ—　ｔｉｃｓ，Ｓｐｅｅｃｈ　ａｎｄ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００９：２８８５—２８８８．　（ｂ）几种算法峰值信噪比的比较２　图３几种算法比较　［１０］Ｋｉｎｇｓｂｕｒｙ　Ｎ　Ｇ．Ｔｈｅ　ｄｕａｌ—ｔｒｅｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ：　ａ　ｎｅｗ　ｅｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｔｏｏｌ　ｆｏｒ　ｉｍａｇｅ　ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ［Ｃ］＃　由图３可以看出，在各个压缩率下，ＤＴＣ．Ｍｂ．ＳＰ算法　Ｐｒｏｃ　Ｅｕｒｏｐｅａｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｃｏｎｆ，Ｒｈｏｄｅｓ，１９９８．　和ＤＴＣ．Ｍｂ．ＣｏＳａＭＰ算法表现出更加优异的重建性能。　［１１】Ｓｅｌｅｓｎｉｃｋ　Ｉ　Ｗ，Ｂａｒａｎｉｕｋ　Ｒ　Ｇ，Ｋｉｎｇｓｂｕｒｙ　Ｎ　Ｃ．Ｔｈｅ　ｄｕａｌ—ｒｔｅｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｍａｇａ—　６结论　基于小波树结构的模型化方法Ｍｂ．ＳＰ和Ｍｂ—ＣｏＳａＭＰ　算法充分利用了变换系数的结构特点，在相同的迭代次数　ｚｉｎｃ，２００５：１２３—１５１．　［１　２】Ｈａｄｅｅｌ　Ｎ　Ａ．Ｉｍａｇｅ　ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｕａｌ—ｔｒｅｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ．２００８．３１（３）：５８７—５９０．　下可以在较短时间内完成高精度的信号重建。双树复小　波具有很好的平移不变性和方向选择性，将其与Ｍｂ．ＳＰ算　（上接１７７页）　［７］Ｈｏｐｐｅ　Ｈ，ＤｅＲｏｓｅ　Ｔ，Ｄｕｃｈａｍｐ　Ｔ，ｅｔ　ａ１．Ｍｅｓｈ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／　Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＳＩＧＧＲＡＰＨ’９３．Ａｎａｈｅｉｍ：ＡＣＭ　Ｐｒｅｓｓ．１９９３：　ｌ９．２６．　［１３】杨威，高协平．基于双树复小波变换的微钙化诊断方法［Ｊ］．光　子学报，２０１０，３９（６）：１０４０—１０４６．　ｔｈｅ　ＶＲＳＴ’９６．Ｈｏｎｇ　Ｋｏｎｇ：ＡＣＭ　Ｐｒｅｓｓ，１９９６：１１—１９．　［１２］周晓云，何大曾，刘慎权．一种层次化模型构造方法［Ｊ］．中国图　象图形学报，１９９７，２（８／９）：５５５．５６１　［１３】郝娟儿，唐莉萍，曾培峰．基于曲率和面积的二次误差测度网　格简化算法【Ｊ］．东华大学学报：自然科学版，２０１２，３８（３）：　３ｌ８－３２２．　［８］Ｈａｍａｎｎ　Ｂ．Ａ　ｄａｔａ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ［Ｊ］．　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｉｄｅｄ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｄｅｓｉｇｎ，１９９４，１１（３）：１９７—２１４．　［９］Ｌｏｕｎｓｂｅｒｙ　Ｍ，ＤｅＲｏｓｅ　Ｔ．Ｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　［１４］Ａｎｔｏｎｉｏ　Ａ，Ｍｉｇｕｅｌ　Ａ．Ａ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｆｏｒ　３Ｄ　ｓｈａｐｅｓ　ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｐａｔｔｅｒｎ　Ａｎａｌｙ—　ｓｉｓ　ａｎｄ　Ｍａｃｈｉｎｅ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，２００４，２６（１１）：１５０７—１５２０．　ｏｆ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　ｔｙｐｅ［Ｒ］．Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ：Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，１　９９４．　［１　０］Ｈｏｐｐｅ　Ｈ．Ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｍｅｓｈｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＳＩＧＧＲＡＰＨ’９６．　Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＡＣＭ　Ｐｒｅｓｓ，１９９６：９９—１０８．　［１５】周昆，潘志庚，石教英．基于三角形折叠的网格简化算法【Ｊ］．计　算机学报，１９９８，２１（６）：５０６．５１３．　［１６］薛峰，袁成风．保持外形特征的网格简化算法［Ｊ］．计算机应用，　２０１０，３０（９）：２４３ｌ一２４３３．　［１　１］Ｉｓｌｅｒ　Ｖ，Ｌａｕ　Ｒ　Ｗ　Ｈ，Ｇｒｅｅｎ　Ｍ．Ｒｅａｌ—ｔｉｍｅ　ｍｕｌｔｉ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　ｏｆ