考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．
一、教材概念·结论·性质重现 1．两条直线的位置关系 (1)利用斜率关系判断
对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．
l1∥l2 k1＝k2 l1⊥l2 k1·k2＝－1 特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2； 当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． (2)利用方程判断
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，
l1∥l2 l1⊥l2 l1与l2重合 A1B1C1＝≠ A2B2C2A1A2＋B1B2＝0 A1B1C1＝＝ A2B2C2特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断． (3)两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0
的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解．
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0． (2)与直线Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0． 2．三种距离 2222 1
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝(x2－x1)＋(y2－y1)． (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|．
A2＋B22
2
22(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A＋B≠0，C1≠C2)间的距离d|C1－C2|＝2．
A＋B2
应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意： (1)将方程化为最简的一般形式． (2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等． 二、基本技能·思想·活动经验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．
( × ) ( × ) ( × )
|kx0＋b|(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为． 2
1＋k(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．
( × )
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( ) A．0 B．－8 C．2 D．10 B 解析：由题意知
4－m＝－2，解得m＝－8．故选B．
m－(－2)
3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线
l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 C．x－y－1＝0
A 解析：因为直线AB的斜率为
B．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
a＋1－a＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方
a－1－a程为y＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点
2a－1，2a＋1，所以2a＋1＝2a－1＋b，
2222
解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
2
2m＋14
C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，
m3－2故m＝2或－3．
5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为________． 5
解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y－2
|－3－2|5
3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝． 22
24＋2
考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性
1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．
2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a＋b的最小值为( )
A．3 C．5
B．3 D．5
2
2
2
C 解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直， 所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，
所以a＋b＝a＋(5－2a)＝5a－20a＋25＝5(a－2)＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”， 所以a＋b的最小值为5．
3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________． 0或－2 解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2， 即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．
1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．
考点2 两直线的交点、距离问题——综合性
(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离
是( )
A．4 213C．
13
B．
13 2
713D．
26
B 解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分713
别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是2＝．故选B． 2
223＋2
(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( ) A．－24
B．24 C．6
D．±6
7
＋32
A 解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为
2a－k＝0，
(a,0)，则
a＋12＝0，
a＝－12，
即
k＝－24.
故选A．
本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．
解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．
3x＋2y－3＝0，
由
6x－9y＋7＝0，
1x＝，
解得3
y＝1.
1所以交点坐标为，1．
3
1．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． 2．利用距离公式应注意 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．
4
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为( )
A．(1,2)
C．(1,2)或(2，－1)
B．(2,1)
D．(2,1)或(－1,2)
|x－5＋3x－1|
C 解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－622
1＋(－1)＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．
2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )
A．0 C．2
x－2y＋3＝0，C 解析：由
2x＋3y－8＝0，
2
B．1 D．3
2
得
x＝1，y＝2，
即直线l过点Q(1,2)．
因为|PQ|＝(1－0)＋(2－4)＝5>2， 所以满足条件的直线l有2条．故选C．
考点3 对称问题——应用性
考向1 点关于点对称
过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的
线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．
中心对称问题的解法 x′＝2a－x，(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则y′＝2b－y. (2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．
5
考向2 点关于直线的对称点
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′
的坐标为________．
－33，4 解析：设A′(x，y)， 1313
y＋22
x＋1×3＝－1，
由已知得x－1y－2
2×－3×＋1＝0，22
33x＝－，13解得4
y＝13.
轴对称问题的解法 (1)若点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为P′(m，n)，
334故A′－，．
1313
n－bA－＝－1，m－a×B则有a＋mb＋nA·＋B·＋C＝0.22 (2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决． 考向3 直线关于直线的对称 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2
的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 C．x＋y－1＝0
x－y－1＝0，B 解析：由
2x－y－2＝0，
B．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的
y－0x－1
对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．
－1－0－1－1
直线与直线对称问题的解法 (1)先求出两条直线的交点，再在其中一条直线上取一个异于交点的点，求出该点关于直线的对称点，由两点式可写出直线的方程． (2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
6
1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0
B．3x－2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
B 解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－3x－2y＋5＝0．故选B．
1
2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )
21A． 2C．2
1B．－ 2D．－2
33
＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即kAB221
C 解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与ya＝－2，1
＝－x＋b为同一直线，则
2b＝4.
所以a＋b＝2．故选C．
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