2016年北京工业大学数学建模初赛试题

参赛说明

1. 北京工业大学数学建模初赛试题共有三道（A、B、C），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。

2. 请按规定的时间内上交试卷，过期无效。试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。

3. 由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。

4. 尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。

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2016年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

A题：二维STEWART平台的运动

图A1给出的是平面型Stewart平台示意图，它模拟一个操作装置，其中包括一个三角形（ABC）平台，平台位于一个由3个支柱（p1,p2和p3）控制的固定平面中。图中的三角形（ABC）表示平面型Stewart平台，它的尺寸由3个长度L1,L2,L3确定。平台的位置由3个支柱的可变长度的3个参数p1,p2,p3所控制。

图A1 平面型Stewart平台示意图

需要解决的问题是，在给定一组参数p1,p2,p3的值后，计算出A点的坐标

x,y和角度的值。请你完成：

1. 数学建模。参数L1,L2,L3，x1,x2,y2是固定常数，在给定一组参数p1,p2,p3的值后，判断能否得到Stewart平台的一个位置，即能否得到A点坐标x,y和角度的值。如果能，则称它为Stewart平台的一个位姿。但位姿并不一定是唯一的，如何让你的模型能够计算出一组固定参数下的全部位姿。 2. 模型检验。假设有如下参数：x15,x2,y20，6，L1L33，L232，

p1p25,p33，请根据你的模型，计算出Stewart平台的全部位姿，即计算出每个Stewart平台中的A点坐标x,y和角度的值。

3. 将问题2中的支柱长度p25改为p27，其他条件不变，请计算出Stewart平台的全部位姿。

4. 在其他条件不变的前提下，确定问题2中p2的长度，使得Stewart平台有且仅有两种位姿。当p2取何值时，没有位姿？

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2016年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

B题：制定学生的课表

某学院教务科负责为该学院两个班制定每周的课表。除去高等数学课和体育课之外，这两个班级各门课的教师都相同。在此大学中，每节课的长度都是95分钟。此外，同一个班级的所有学生都将参与相同的课程。从周一到周五，每节课的时间安排为：8:00－9:35,9:55－11:30,13:30－15:05,15:25－17:00。表B1列出每位教师每周需要为这两个班各上的课时数。

表B1 每位教师为每个班级授课节数

教师 A先生 B女士 C先生 D先生 E女士 F女士 G先生 H先生 I女士

课程名称 英语 线性代数 概率 高等数学 高等数学 物理 政治 体育 体育

体育课必须安排在下午的13:30－15:05，且必须在同一时间。因为H先生为这两个班（合班）的男生上课，I女士为这两个班（合班）的女生上课。D先生是系主任，周一要处理系里的一些事务，因此，周一最好不安排课程。B女士每周三需要接送小孩学钢琴，她希望周三不要给她排课。最后，为了避免学生疲劳，每天每门课只能占一节课。请帮助学院教务科制定出这两个班级每周的课表。 注：需要有数学模型和计算结果。

1班 1 3 2 0 4 3 1 1（男生） 1（女生）

2班 1 3 2 4 0 3 1 1（男生） 1（女生）

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2016年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛

C题：定容量加油 VS 定钱数加油

对于私家汽车的车主来说，有两种加油方式，一种是一次将油箱加满，或者加一个固定升数的油，我们称为定容量加油。另一种是加一个固定钱数的油，如200元，我们称为定钱数加油。在油价变化的今天，是采用定容量加油，还是采用定钱数加油？这两种加油方式，哪一种对车主更有利？

1. 建立数学模型，分析两种加油方式各自的优缺点，给出你的结论。 2. 假设有位车主，每天上下班（周一至周五）需要行驶30 km，周末用车有一定的随机性。汽车的耗油量是每百公里8升，油箱加满是50升。请根据前一段国内成品油的价格，检验你的结论。如果是定容量加油，每次加多少升？如果是定钱数加油，每次加多少钱？

3. 假定每次加油需要多花15分钟的时间以及5km的路程，你的结论又是什么？ 4. 假定表C1是2016年3月31日以后油价可能出现三种情形（具体出现哪种情形事先并不知道），你的结论是否要作调整？如果作调整，调整后的结论又是什么？

5. 请为私家车主的加油行为给出你的结论（最好不超过20个字）。

表C1 2016年油价（单位：元）可能出现的三种情形 日 期 情形1 情形2 情形3 2016/3/31 6.47 6.47 6.47 2016/4/10 2016/4/20 2016/4/30 2016/5/10 2016/5/20 2016/5/30 2016/6/9 2016/6/19 2016/6/29 2016/7/9 2016/7/19

7.10 7.35 6.56 6.48 6.30 5.84 6.56 6.12 5.36 6.01 5.12

7.26 7.04 6.13 6.48 6.52 6.71 6.59 6.57 6.41 6.65 7.46

6.58 6.91 6.00 6.19 6.44 7.35 6.42 7.07 8.06 6.27 7.45

4

2016/7/29 2016/8/8 2016/8/18 2016/8/28 2016/9/7 2016/9/17 2016/9/27 2016/10/7

5.86 4.81 4.92 3.73 3.46 4.45 4.89 4.08

6.45 6.50 6.47 6.61 5.79 7.48 7.51 5.94

8.15 8.04 8.82 8.05 8.95 8.74 8.42 8.05

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