新教材高中数学 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题
精品练习题两套
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
x>0，
1．不等式组y>0，所表示的平面区域内的整点个数为( )
2x＋y<6A．2 C．4
B．3 D．5
解析：选C 由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0 x－2y＋1≥0，x－2y＋1≤0， 解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形x＋y－3≤0x＋y－3≥0. 可知选C. x≤3， 3．(·北京高考)若x，y满足x＋y≥2， y≤x，A．1 C．5 则x＋2y的最大值为( ) B．3 D．9 解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部． 设z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，所以zmax＝3＋2×3＝9. x≥0， 4．(·兰州模拟)若变量x，y满足约束条件y≥0， 3x＋4y≤12， 1y的最大值为则z＝2x·2 第 2 页 共 15 页 ( ) A．16 C．4 B．8 D．3 x≥0， 解析：选A 作出不等式组y≥0， 3x＋4y≤12阴影部分所示． 所表示的平面区域如图中 1y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得又z＝2x·2最大值，此时z取得最大值且zmax＝240＝16，故选A. y≥x＋2， 5．(·郑州二模)已知实数x，y满足x＋y≤6， x≥1，A．6 C．4 B．5 D．3 － 则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( ) y≥x＋2， 解析：选C 作出不等式组x＋y≤6， x≥1 表示的可行域如图中阴影 部分所示，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1，3)，∴x∈[1,2]，y∈[3,5]． ∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线y＝2x－4＋z过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，∴zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. x＋y－4≤0， 6．(·郑州第二次质量预测)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组3x－y≥0， x>0，y>0面区域有公共点，则k的取值范围为( ) A．[0，＋∞) 3 0， C.2 3 0， B.23D.2，＋∞ 表示的平 解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x轴)部分所示，直线y＝k(x＋1)过定点M(－1，0)， x＋y－4＝0，x＝1， 由解得过点M(－1，0)与A(1,3)的直线3x－y＝0，y＝3， 33的斜率是，根据题意可知0 7．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________． 第 3 页 共 15 页 解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点2(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞. 3 2 ，＋∞ 答案：3 x－y≥0， 8．(·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0， y≥0，________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1. 则z＝3x－4y的最小值为 答案：－1 x－1≥0， 9．若x，y满足约束条件x－y≤0， x＋y－4≤0， y 则x的最大值为________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的y 意义知，x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与y 原点连线的斜率最大，故的最大值为3. x 答案：3 |x|＋|y|≤1， 10．(·西安质检)若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________． xy≥0， 解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点A(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点B(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2] B级——中档题目练通抓牢 1．(·安庆二模)若实数x，y满足：|x|≤y≤1，则x2＋y2＋2x的最小值为( ) 第 4 页 共 15 页 1A. 2C.2 2 1B．－ 2D.2－1 2 解析：选B 作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域如图中阴影部分所示． x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，(x＋1)2＋y2表示可行域内的点(x，y)到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x＋1)2＋y2的最小值为点(－1,0)到直线y＝－x的距离的平方，即为 22＝1，所以x2＋y2＋2x的最小值为1－1＝－1. 2222 x＋y≤0， 2．(·石家庄质检)若x，y满足约束条件x－y≤0， x2＋y2≤4，A．－2 C．－ 12 5 2B．－ 3D. 2－4 7 则z＝ y－2 的最小值为( ) x＋3 解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所y－2 示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3,2)连线的斜 x＋3率．由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有解得k＝－|3k＋2|＝2，k2＋1 1212或k＝0(舍去)，所以zmin＝－，故选C. 55 3．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 黄瓜 韭菜 每亩年产量 4吨 6吨 每亩年种植成本 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 C．20,30 B．30,20 D．0,50 解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y 第 5 页 共 15 页 x＋y≤50， －1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件1.2x＋0.9y≤54， x≥0，y≥0. 画出可行域如图，得最优解为A(30,20)． x＋y－2≤0， 4．(·石家庄模拟)已知x，y满足约束条件x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0， 且b＝－2x－y，当b取得最大值时，直线2x＋y＋b＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦长为________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线y＝－2x－b经过点A(－2，－2)时，b取得最大值，即bmax＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x＋y＋6＝0.因为圆心(1,2)|2＋2＋6| 到直线2x＋y＋6＝0的距离d＝＝25，所以直线被圆截得的 22＋12弦长L＝252－252＝25. 答案：25 y≥1， 5．(·河南六市联考)已知实数x，y满足y≤2x－1， x＋y≤m.－1，则实数m＝________. 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可 y＝2x－1，x＝2， 知，当直线l经过A时符合题意，由解得又A(2,3)在直线x＋y＝mx－y＝－1，y＝3. 若目标函数z＝x－y的最小值为 上，所以m＝5. 第 6 页 共 15 页 答案：5 6.已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示． (1)写出表示区域D的不等式组． (2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求实数a的取值范围． 解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.7x－5y－23≤0， 原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为x＋7y－11≤0， 4x＋y＋10≥0. (2)根据题意有 [4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0， 即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜14. 故实数a的取值范围是(－18,14)． x－4y＋3≤0， 7．变量x，y满足3x＋5y－25≤0， x≥1.(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值； y (2)设z2＝x，求z2的最小值； (3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围． 221，，解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A 5B(1,1)， x－4y＋3＝0， 联立解得C(5,2)， 3x＋5y－25＝0， 4z14 (1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移直线y＝x至过点C时， 333最大，且最大值为4×5－3×2＝14. z1 y (2)z2＝x表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小，故z2的最 第 7 页 共 15 页 2小值为. 5 (3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2 C级——重难题目自主选做 x＋2y≥1， 1．已知变量x，y满足约束条件x－y≤1， y－1≤0， 若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a， b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是( ) A．(－6，－2) 10 －，－2 C.3 B．(－3,2) 10 －，－3 D.3 解析：选C 作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，则目标函数z＝x－2y在点A(1,0)处取得最大值1，在点B(－1,1)处取得最小值－3，所以a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f(x)＝x2－kx＋1， f1>0， 则k －3<<1， 2 Δ＝k－4>0， 2 f－3>0， 10 解得－ x≥0， 2．(·襄阳五中月考)已知x，y满足不等式组y≥0， 2x＋y≤2，数a的取值范围是________． x≥0， 解析：满足不等式组y≥0， 2x＋y≤2 若ax＋y≤3恒成立，则实 的平面区域如图中阴影部分 所示，由于对满足不等式组的任意实数x，y，不等式ax＋y≤3恒3－0 成立，根据图形，可得斜率－a≥0或0>－a≥kAB＝＝－3，解 0－1得a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]． 答案：(－∞，3] 第 8 页 共 15 页 (二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( ) x－2y＋1≥0，x－2y＋1≤0， 解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或结合图形 x＋y－3≤0x＋y－3≥0. 可知选C. 2x－y≤0， 2.(·日照一模)已知变量x，y满足：x－2y＋3≥0， x≥0，A.2 C．2 B．22 D．4 则z＝(2)2xy的最大值为( ) ＋ 解析：选D 作出满足不等式组的可行域如图中阴影部分所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝(2)2xy取得最大值，由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax＝(2)2 ×1＋2＋ ＝4，故选D. 第 9 页 共 15 页 x＋y－4≤0， 3.(·郑州质量预测)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组3x－y≥0， x>0，y>0公共点，则k的取值范围为( ) A．[0，＋∞) 3 0， C.2 3 0， B.23D.2，＋∞ 表示的平面区域有 解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x轴)部分所示，直线y＝k(x＋1)过定点M(－1，0)， x＋y－4＝0，x＝1， 由解得过点M(－1，0)与A(1,3)的直3x－y＝0，y＝3， 33线的斜率是，根据题意可知0 4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 黄瓜 韭菜 每亩年产量 4吨 6吨 每亩年种植成本 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 C．20,30 B．30,20 D．0,50 解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3yx＋y≤50， －1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件1.2x＋0.9y≤54， x≥0，y≥0. 画出可行域如图，得最优解为A(30,20)． 5.(·安庆模拟)若实数x，y满足：|x|≤y≤1，则x2＋y2＋2x的最小值为( ) 第 10 页 共 15 页 1A. 2C.2 2 1B．－ 2D.2－1 2 解析：选B 作出不等式|x|≤y≤1表示的可行域如图中阴影部分所示． x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1，(x＋1)2＋y2表示可行域内的点(x，y) 到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x＋1)2＋y2的最小值为点(－1,0)到直线y＝－x的距离的平方，即为 22＝1，所以x2＋y2＋2x的最小值为1－1＝－1. 2222 x－y≥0， 6．(·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0， y≥0，________． 则z＝3x－4y的最小值为 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1. 答案：－1 x－1≥0， 7．若x，y满足约束条件x－y≤0， x＋y－4≤0， y 则的最大值为________． x 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意y 义知，x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点y 连线的斜率最大，故的最大值为3. x 答案：3 x＋3y＋5≥0， 8.(·惠州调研)已知实数x，y满足：x＋y－1≤0， x＋a≥0，实数a的值为________． 解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 若z＝x＋2y的最小值为－4，则 第 11 页 共 15 页 a－5a－5 所示，当直线z＝x＋2y经过点C－a，时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－334，解得a＝2. 答案：2 9.已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示． (1)写出表示区域D的不等式组． (2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求实数a的取值范围． 解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.7x－5y－23≤0， 原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为x＋7y－11≤0， 4x＋y＋10≥0. (2)根据题意有 [4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0， 即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜14. 故实数a的取值范围是(－18,14)． x－4y＋3≤0， 10．变量x，y满足3x＋5y－25≤0， x≥1.(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值； y (2)设z2＝，求z2的最小值； x(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围． 22 1，，B(1,1)． 解：作出可行域如图中阴影部分，易得A5 x－4y＋3＝0， 联立解得C(5,2)， 3x＋5y－25＝0， 4z14 (1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移直线y＝x至过点C时， 333z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14. y (2)z2＝x表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小，故z2的最2小值为. 5 第 12 页 共 15 页 (3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2 B级——拔高题目稳做准做 3x－y＋ 1.(·郑州一中押题卷)若实数x，y满足约束条件3x＋y－ y≥0， 值时，x＋y的值为( ) A．－1 C．－3 B．1 D.3 3≥0， 3≤0， y＋1则当取最大x＋3 y＋1 解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义 x＋3是过定点M(－3，－1)与可行域内的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，3)时，斜率取得最大值，此时x，y的值分别为0，3，所以x＋y＝3. y≥x＋2， 2.(·郑州质量预测)已知实数x，y满足x＋y≤6， x≥1，A．6 C．4 B．5 D．3 则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( ) y≥x＋2， 解析：选C 法一：作出不等式组x＋y≤6， x≥1如图中阴影部分所示． 所表示的可行域 由图易知1≤x≤2，y>0，即z＝2(2－x)＋y＝4－2x＋y，即y＝2x＋z－4，平移直线y＝2x可知，当直线经过点M(2,4)时，z取得最小值，最小值为4.故选C. y≥x＋2， 法二：作出不等式组x＋y≤6， x≥1部分所示， 由可行域的形状可知，z＝2|x－2|＋|y|的最值必在顶点M(2，4)，N(1,3)，P(1,5)处取到，分别代入z＝2|x－2|＋|y|可得z＝4或z＝5或z＝7，故选C. 所表示的可行域如图中阴影 第 13 页 共 15 页 y－1≥0， 3.(·山西五校联考)不等式组x－y＋2≥0， x＋4y－8≤0 表示的平面区域为Ω，直线x＝a(a>1)将平 面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________． 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域Ω为△ABC及其内11 部，作直线x＝a(1 －1a＋2－1＝1×1×5×1＝1，可得a＝2(a＝6舍去)，所以目标函数z＝ax＋y即为za)·4522 ＝2x＋y，易知z＝2x＋y在点C(4,1)处取得最大值，则zmax＝9. 答案：9 x≥0， 4．(·襄阳五中月考)已知x，y满足不等式组y≥0， 2x＋y≤2，数a的取值范围是________． x≥0， 解析：满足不等式组y≥0， 2x＋y≤2 若ax＋y≤3恒成立，则实 的平面区域如图中阴影部分所 示，由于对满足不等式组的任意实数x，y，不等式ax＋y≤3恒成立，根据图形，可得斜率－a≥0或0>－a≥kAB＝则实数a的取值范围是(－∞，3]． 答案：(－∞，3] x＋y≥1， 5.若x，y满足约束条件x－y≥－1， 2x－y≤2.11 (1)求目标函数z＝x－y＋的最值； 22 (2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解：(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，C(1,0)， 3－0 ＝－3，解得a≤3，0－1 第 14 页 共 15 页 2x－y－2＝0，联立解得A(3,4)． x－y＋1＝0， 11 平移直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2， 22过C(1,0)取最大值1. 所以z的最大值为1，最小值为－2. a (2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜ 22. 故所求a的取值范围为(－4,2)． 6.(·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长 甲 乙 (分钟) 70 60 广告播放时长(分钟) 5 5 收视人次(万) 60 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． (1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 5x＋5y≥30， ≤2y，x x≥0，y≥0， 70x＋60y≤600， x＋y≥6， 即x－2y≤0， x≥0，y≥0， 7x＋6y≤60， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点． (2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y. 第 15 页 共 15 页 考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－ z1212x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行5255 zz 直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大． 2525 又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点Mz 时，截距最大，即z最大． 25 7x＋6y＝60， 解方程组得点M的坐标为(6,3)． x－2y＝0， 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
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