2020-2021学年江苏省无锡市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A．调查市场上冷冻食品的质量情况 B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 C．调查某品牌冰箱的使用寿命 D．调查2021年春晚的收视率情况 3．（3分）下列各式是分式的是（ ） A．
B．
C．
D．
4．（3分）给出下列分式：、
、
、，其中最简分式有（ A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（3分）下列等式成立的是（ ） A．
B． C．
D．
6．（3分）在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
7．（3分）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（ ） A．一定是矩形 B．一定是菱形 C．对角线一定互相垂直
D．对角线一定相等
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F（第1页（共26页）
））
A．2
B．3
C．4
D．6
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（ ）
A．24°
B．26°
C．28°
D．36°
）
10．（3分）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且上，AB＝5，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（ ） A．24
B．25
C．26
D．30
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分．） 11．（2分）要使分式12．（2分）计算：
有意义，则x应满足条件 ．
＝ ．
13．（2分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝3∠A，则∠D＝ ．
14．（2分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1﹣4组的频数分别为12、10、6、8 ．
15．（2分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，交DE的延长线于点F，若EF＝6 ．
第2页（共26页）
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E ．
17．（2分）已知
，则
的值是 ．
，BC＝3，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，
18．（2分）如图，矩形ABCD的边AB＝
若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．） 19．（8分）计算并化简： （1）（2）
； ．
20．（6分）化简代数式数作为a的值代入求值．
，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的
21．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中
第3页（共26页）
按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（a，b），则经过两次变换后点P的坐标变为 ； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（﹣1，﹣2），B3（1，﹣3），C3（0，﹣5），则旋转中心坐标为 ．
22．（8分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 ．
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
23．（6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．
第4页（共26页）
（1）估计摸到黑球的概率是 ；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在
24．（8分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF∥BE．求证： （1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
25．（8分）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上； （2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）
26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数作正方形ABCD，连接BD，交BD于点E，连接AE．
第5页（共26页）
，以AB为边在直线右侧
（1）求线段AB的长； （2）求证：AD平分∠EAF； （3）求△AEF的周长．
28．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，AD＝5，垂足为H，交对角线AC于M，且AH＝3．动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，沿CB方向以1个单位/秒的速度向终点B匀速运动，设△MPQ的面积为S
（1）求DM的长；
（2）当点P在BC上运动时，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围； （3）当点P在AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，求出t值，若不存在
第6页（共26页）
2020-2021学年江苏省无锡市八年级（下）期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、“业”可以看作轴对称图形； B、“精”不可以看作轴对称图形； C、“于”不可以看作轴对称图形； D、“勤”不可以看作轴对称图形； 故选：A．
2．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A．调查市场上冷冻食品的质量情况 B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 C．调查某品牌冰箱的使用寿命 D．调查2021年春晚的收视率情况
【解答】解：A、调查市场上冷冻食品的质量情况，故本选项不合题意； B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，故本选项符合题意； C、调查某品牌冰箱的使用寿命，故本选项不合题意； D、调查2021年春晚的收视率情况，故本选项不合题意； 故选：B．
3．（3分）下列各式是分式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是单项式； B、是单项式； C、是单项式； D、是分式． 故选：D．
第7页（共26页）
4．（3分）给出下列分式：A．1个 【解答】解：∵∴最简分式是故选：A．
、、、C．3个
，其中最简分式有（ ）
D．4个 ＝2a+b、
，
B．2个 ＝
、
、
＝
共1个．
5．（3分）下列等式成立的是（ ） A．C．
，故A不成立．
B．D．
【解答】解：A、B、C、D、故选：C．
，故B不成立．
，故C成立． ，故D不成立．
6．（3分）在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，故原命题错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，不符合题意， 故选：C．
7．（3分）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（ ） A．一定是矩形 C．对角线一定互相垂直
B．一定是菱形 D．对角线一定相等
第8页（共26页）
【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，F，G，H分别是边AD，BC， ∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF， ∴BD＝AC．
∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F（
A．2
B．3
C．4
D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8， ∴∠F＝∠DCF， ∵CF平分∠BCD， ∴∠FCB＝∠DCF， ∴∠F＝∠FCB， ∴BF＝BC＝8， 同理：DE＝CD＝3，
∴AF＝BF﹣AB＝2，AE＝AD﹣DE＝2， ∴AE+AF＝7； 故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（ 第9页（共26页）
）
）
A．24°
B．26°
C．28°
D．36°
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'． ∴AB＝AB'，∠C＝∠C'， ∴∠B＝∠AB'B， ∵AB'＝CB'， ∴∠C＝∠CAB'， ∴∠AB'B＝2∠C＝∠B， ∵∠BAC＝102°， ∴∠C+∠B＝78°， ∴∠C＝26°， ∴∠C'＝26°， 故选：B．
10．（3分）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y＝mx﹣3m+4（m为常数且上，AB＝5，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（ ） A．24
B．25
C．26
D．30
）
【解答】解：方法一：∵直线AB：y＝mx﹣3m+4＝m（x﹣3）+4， ∴AB过定点M（3，4）， ∴OM＝5， 作OH⊥AB于H， ∴OH≤5， ∴S△ABO最大＝
，
第10页（共26页）
∴以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是25， 故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分．） 11．（2分）要使分式【解答】解：∵分式∴x﹣3≠5， 解得：x≠3． 故答案为：x≠3． 12．（2分）计算：
【解答】解：原式＝a6b3•＝a5b5． 故答案为：a4b5．
13．（2分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝3∠A，则∠D＝ 135° ． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D＝∠B， ∵∠B＝3∠A， ∴4∠A＝180°， 解得：∠A＝45°，
第11页（共26页）
有意义，则x应满足条件 x≠3 ． 有意义，
＝ a5b5 ．
∴∠D＝∠B＝7×45°×5＝135°， 故答案为：135°．
14．（2分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1﹣4组的频数分别为12、10、6、8 0.1 ．
【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）＝40﹣36＝6， 则第5组的频率为4÷40＝2.1， 故答案为：0.6．
15．（2分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，交DE的延长线于点F，若EF＝6 3 ．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝， ∴EF∥BC， ∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形， ∴BC＝EF＝7， ∴DE＝BC＝8， 故答案为：3．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E
．
第12页（共26页）
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC＝3，BO＝DO， ∴BO＝∴BD＝4，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD， ∴DE＝故答案为
＝．
，则，
的值是 ﹣6 ．
， ＝
＝4，
17．（2分）已知【解答】解：∵∴则故∴
﹣
＝，
＝， ＝5， ＝﹣3×
．
故答案为：﹣3．
18．（2分）如图，矩形ABCD的边AB＝
，BC＝3，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，
若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，则CG的最小值为 2.5 ．
第13页（共26页）
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝∴∠B＝90°，CD＝∵AE＝3， ∴BE＝，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△FEA（AAS）， ∴GH＝AE＝4，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值， ∴CG的最小值＝故答案为：2.5．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．） 19．（8分）计算并化简： （1）
；
＝2.3，
，
，
第14页（共26页）
（2）．
+
【解答】解：（1）原式＝＝＝＝＝2；
（2）原式＝＝＝＝
．
﹣
20．（6分）化简代数式数作为a的值代入求值． 【解答】解：原式＝当a＝0时，原式＝2．
•
，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的
＝•＝，
21．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内有一点P（a，b），则经过两次变换后点P的坐标变为 （a，﹣b+2） ； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（﹣1，﹣2），B3（1，﹣3），C3（0，﹣5），则旋转中心坐标为 （0，﹣1） ．
第15页（共26页）
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8，经过两次变换后点P的坐标变为（a，﹣b+2）．
故答案为：（a，﹣b+2）．
（2）如图，△A6B2C2即为所求作． （3）如图，旋转中心的Q的坐标为（4． 故答案为：（0，﹣1）．
22．（8分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
第16页（共26页）
（1）此次抽样调查的样本容量是 100 ．
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【解答】解：（1）∵10÷10%＝100（户）， ∴样本容量是100；
（2）用水15～20吨的户数：100﹣10﹣38﹣24﹣8＝20（户）， ∴补充图如下：
“15吨～20吨”部分的圆心角的度数＝360°×
＝72°，
答：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为72°． （3）6×
＝6.08（万户），
答：该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．
23．（6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在． （1）估计摸到黑球的概率是
；
（2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在
【解答】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1﹣＝； 故答案为：；
（2）设袋子中原有黑球x个，
第17页（共26页）
根据题意得：解得：x＝18，
＝，
经检验x＝18是原方程的根， 所以黑球有18个， ∵又放入了n个黑球， 根据题意得：解得：n＝6．
24．（8分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF∥BE．求证： （1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
＝，
【解答】证明：（1）∵DF∥BE， ∴∠DFE＝∠BEF． 在△ADF和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC， ∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
25．（8分）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不
第18页（共26页）
要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上； （2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）
【解答】解：（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N、PN得四边形AMPN即为所求菱形，
证明：∵MN是AP的垂直平分线， ∴AN＝PN，AM＝PM， ∵AP平分∠BAC， ∴∠NAO＝∠MAO， ∵AO＝AO
∴△AON≌△AOM（ASA）， ∴AN＝AM，
∴AN＝PN＝PM＝AM， ∴四边形AMPN是菱形；
（2）∵四边形AMPN是菱形， ∴AN＝PN＝PM＝AM，PM∥AC， ∵∠C＝90°，AB＝8， ∴∠BPM＝∠C＝90°，
设AN＝PN＝PM＝AM＝x，则BM＝8﹣x， 由勾股定理得：BM4＝PM2+BP2， ∴（7﹣x）2＝x2+32，
第19页（共26页）
解得：x＝3， ∴BM＝8﹣3＝5， ∵PM∥AC， ∴
，即
，
﹣4＝
，
＝
．
，
解得：BC＝
∴PC＝BC﹣BP＝
∴菱形AMPN的面积＝AN•PC＝3×
26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿线段AB向点B运动，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时
【解答】解：分三种情况讨论： （1）如图，当∠BA′P＝90°时， 由折叠得，∠PA′D＝∠A＝90°， ∴∠BA′D＝∠BA′P+∠PA′D＝180°， ∴点B、A′，
设AP＝x cm，BP＝（8﹣x）cm， 由题可得，BD＝∴A′B＝10﹣6＝4，
在Rt△A′PB中，有x5+42＝（7﹣x）2， 解得：x＝3，
∴点P的运动时间为3÷2＝（s）；
（2）如图，当∠A′P ，∠A′P ，
第20页（共26页）
，A'D＝AD＝6，
又∵∠DA′P＝∠A＝90°， ∴四边形APA′D是矩形， 由折叠可得A′P＝AP， ∴四边形APA′D是正方形， ∴AP＝AD＝6，
∴点P的运动时间为6÷4＝3（s）； （3）当∠A′B P＝90°时．
综上所述，符合要求的点P的运动时间为s ．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数作正方形ABCD，连接BD，交BD于点E，连接AE． （1）求线段AB的长； （2）求证：AD平分∠EAF； （3）求△AEF的周长．
，以AB为边在直线右侧
第21页（共26页）
【解答】解：（1）∵A、B两点在y＝﹣设A（x，0），y）代入y＝﹣得x＝5，y＝12， ∴A（5，8），12）， 即OA＝5，OB＝12， ∴AB＝故AB＝13；
（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD，
∵BD是正方形的对角线， ∴∠CDE＝∠ADE， 在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS）， ∴∠DCE＝∠DAE， 设FC与AD交点为M，
∵∠EMD＝∠AMF（对顶角相等），∠DCM+∠EMD＝∠MAF+∠AMF， ∴∠DCM＝∠MAF＝∠EAM， ∴AD平分∠EAF；
（3）如右图，过点B作BN平行于OF，
第22页（共26页）
，
，
＝＝13，
∵BN∥OF，∠BOF＝∠CFO＝90°， ∴四边形OBNF为正方形， ∴BN＝BO，
又∵BC＝BA，∠CBN＝∠OBA， ∴BN＝12，CN＝5， ∴C（12，17）， 又∵BA＝AD＝13， ∴BD＝13
，
由（2）中△CDE≌△ADE，得AE＝CE， 又∵OF＝BN＝12，DA＝2，
∴AF＝12﹣5＝7，CF＝CN+NF＝4+12＝17， △AEF周长＝AE+EF+AF＝CF+AF＝17+7＝24．
28．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，AD＝5，垂足为H，交对角线AC于M，且AH＝3．动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，沿CB方向以1个单位/秒的速度向终点B匀速运动，设△MPQ的面积为S
（1）求DM的长；
第23页（共26页）
（2）当点P在BC上运动时，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围； （3）当点P在AB上运动时，是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，求出t值，若不存在
【解答】解：（1）在Rt△ADH中，AD＝5， ∴DH＝4，
∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠ACD＝∠ACB，CD＝CB， 在△DCM和△BCM中，
，
∴△DCM≌△BCM（SAS）， ∴DM＝BM，
在Rt△BHM中，BM＝DM，BH＝AB﹣AH＝3， 根据勾股定理得，DM2﹣MH2＝BH3， 即：DM2﹣（4﹣DM）7＝4， ∴DM＝；
（2）点P在AB上运动的时间为t＝，此时点Q运动的距离为设点P、Q在CB上相遇的时间为x，解得x＝， 总时间为t＝+＝
，
，
，
故点P在BC上运动时t＝，当PQ相遇时①当≤t＜
时，
过点M作MG⊥CB交CB的延长线于点G，
第24页（共26页）
∵菱形对角线平分对角，故MH＝DM＝， 此时PB＝2t﹣5，CQ＝t， 则S＝×PQ×MG＝②当t＝③当
时，S＝0；
＝﹣
+
；
＜t≤5时，
﹣
，
同理可得：S＝
故S＝；
（3）存在，理由：
∵∠ADM+∠BAD＝90°，∠BCD＝∠BAD， ∴∠ADM+∠BCD＝90°， ∵∠MPB+∠BCD＝90°， ∴∠MPB＝∠ADM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAM＝∠BAM， ∵AM＝AM，
∴△ADM≌△ABM（SAS）， ∴∠ADM＝∠ABM， ∴∠MPB＝∠ABM， ∵MH⊥AB， ∴PH＝BH＝5， ∴BP＝2BH＝4， ∵AB＝7， ∴AP＝1，
第25页（共26页）
∴t＝AP＝．
第26页（共26页）
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