大学高等数学期末考试试题及答案 2

2012高等数学期末考试试题【A卷】

考试日期：2012年

院（系）别

大题 小题 得分 班级 学号 姓名

二 3 三 四 五 成绩 六 七 一 1 2 4 5 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a、b满足ab0，a2，b2，则ab ．

3z2、设zxln(xy)，则 ． 2xy3、曲面xyz9在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．

4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数 在x3处收敛于 ，在x处收敛于 ． 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则

22(xy)ds ．

L※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

2222x3yz91、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程． 22z3xy2、求由曲面z2x2y及z6xy所围成的立体体积．

22223、判定级数

(1)nlnn1n1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nxz2z4、设zf(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,yxxy5、计算曲面积分

dS2222,xyza其中是球面被平面zh(0ha)截出的顶部． z 第 1 页 共 2 页

高数

三、（本题满分9分）

抛物面zxy被平面xyz1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

22四、 （本题满分10分）

计算曲线积分

L(exsinym)dx(excosymx)dy，

22其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周xyax(a0)．

五、（本题满分10分）

xn求幂级数n的收敛域及和函数．

n13n六、（本题满分10分）

计算曲面积分I3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy， 22其中为曲面z1xy(z0)的上侧．

七、（本题满分6分）

设f(x)为连续函数，f(0)a，F(t)[zf(xtt02y2z2)]dv，其中t是由曲面zx2y2222与ztxy所围成的闭区域，求 limF(t)． t3

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备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；

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高数

不得带走试卷。

2012高等数学期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4； 2、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1；3、2x4yz14； 4、3，0； 5、2. 2ydzdy3yz2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得， 从而，…………..【4】 dx4ydx4zydyzdz3xdxdx该曲线在

1,1,2处的切向量为T(1,4,8)8(8,10,7).…………..【5】

571x1y1z2故所求的切线方程为………………..【6】 8107法平面方程为

8x110y17z20 即 8x10y7z12……..【7】

z2x22y22222xy2２、解：，该立体在面上的投影区域为 xOyD:xy2．…..【2】xy22z6xy故所求的体积为Vdvd2020d6222dz220(632)d6……..【7】

11n３、解：由limnunlimnln(1)limln(1)10，知级数un发散…………………【3】

nnnnnn1又|un111|ln(1)ln(1)|un1|,lim|un|limln(1)0.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

nnnn1n４、解：

z11(f1yf2)0yf1f2， …………………………………【3】 xyy1x2zx11x2f23f22.【7】xf12(2)]2f2[f21xf22(2)]f1xyf11 f1y[f11xyyyyyyy５、解：的方程为z又221zxzyaa2x2y2，在xOy面上的投影区域为Dxy{(x,y)|x2y2a2h2}． a2x2y2，…..………【３】

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高数

2adSadxdy2ad故2200zaxyDxy2h2d1222aln(a)a2220a2h2a2aln..【7】

h三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d令L(x,y,z)xyz(zxy)(xyz1)，

22222x2y2z2……【1】

Lx2x2x0L2y2y0y13则由，z2Lz2z0，解得xy222zxyxyz13．于是得到两个可能极值点

13131313M1(,,23),M2(,,23).…………………【7】

2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得． 故dmax|OM2|953,dmin|OM1|953. ……【9】

四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

I2而I1LOA(exsinym)dx(excosymx)dymdD8ma2．………………【5】

(esinym)dx(ecosymx)dymdxma…………【8】

OA0xxa(exsinym)dx(excosymx)dyI2I1maL8ma2. ………………………【10】

an1n3n1limR3，收敛区间为 (3,3)…………【2】 五、【10分】解：limnann13n13n1，收敛．……【4】 1又当x3时，级数成为，发散；当x3时，级数成为nn1n1nn故该幂级数的收敛域为

3,3………【5】

xn令sxn（3x3），则

n1n3xn11xn1111, (|x|3) ……【8】 s(x)n()3n1331x/33xn13 第 4 页 共 2 页

高数

于是s(x)x0s(x)dxxdxln3x0ln3ln3x，（3x3）………………….【10】

03xx

22六、【10分】解：取1为z0(xy1)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，

有I212x3dydz2y3dzdx3z21dxdy6x2y2zdv………….… 【5】



而I16dd00211202zdz2…………………….…【7】

2x3dydz2y3dzdx3z21dxdy3z21dxdy311x2y21dxdy3….… 【9】

II2I123.…………………….… 【10】

七、【6分】解：Ft202r2dr….… 【2】 dsindrcosfr040ttt322442sincosdrdrsindfrrdr

0000t422822….… 【4】 rfrdr0tt32222tf(t)Ft222limf(t2)22a. 【6】

lim故limt0t0t0t33t233

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