2010年 中考模拟纯几何探究题目选(三)

1．如图11，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于

F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论

FHFG成立（考生不必证明）． ABBG（1）探究：如图12，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（5分）

（2）计算：若菱形ABCD中AB6，∠ADC60，G在直线．．CD上，且CG16，连

接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（7分） （3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论

FHFG还成立吗？（1分） ABBGAAFD

BG图11

HCFBHGD图12

C

2．（07年佛山）在Rt△ABC中，BAC90，ABAC2， 点D在BC所在的直线上运动，作ADE45

A

E （A，D，E按逆时针方向）． 45 （1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

C B D ①求证：△ABD∽△DCE；

第25题图1 ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．

A

A

E

B

第25题图2

45 C

D

D

45 C

B E

第25题图3

E

3.如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连结PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)

(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；

(2)当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)？

(3)当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。 ③A C

② P ①

B ④ D

③A C ② ① B ④ D (第21题图)

③A C ② ① B ④ D 4．（本题10分）

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F．

（1）求证：EF1ACAB； 2A出发，（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点

沿着BA的延长线运动，点C1与A当动点C1停止运动时，另一动点A1的运动速度相同，1也

BD于点F1，过点F1作F1E1AC随之停止运动．如图2，A1F1平分BAC11，垂足11，交

为E1，请猜想E1F1，

1A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想； 2

（3）在（2）的条件下，当A1E13，C1E12时，求BD的长．

A1 A D

D A E E1

F

F1 C B C B 图1 C1

图2

（第27题图）

5．（本小题满分12分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果．

ACBC，那么称点CABAC为线段AB的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果

S1S2，那么称直线l为该图形的黄金分割线． SS1（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线． 请你说明理由．

（4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线．请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点． C C D F F C A Ｃ Ｂ A B A E A D B D E B

图1 图2 图4 图3

（第27题图）



6．(本小题满分11分)如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°

角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。 ①证明DM＝DN； ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

F A A D

M D

C B E N N B A C M D F

E M

图1 图2 F B N C (第25题图)

E 图3

7、（本题10分）

27．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O(k，)，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． （1）填空：

①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，

，

）；

得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（

②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A(3，90)，得到△ADE，则线段BD的长为 cm；

（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，

BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O2△CIB与△CAO2之间的关系，与△ABI，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O2与AO2之间的关系．

D

E

Ｃ

B Ａ

图1

Ｄ

Ｉ

Ｅ O1 Ｂ Ａ O3

E Ｈ

Ｃ

Ａ O2

Ｃ

图2

D B

Ｆ

图3

Ｇ

8．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）

已知：∠MAN60，点B在射线AM上，AB4（如图10）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心． （1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

Px，（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AACAOy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D在射线AN上，AD2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

A

P

B B O

Q N M M

图10

A P O Q 备用图

N

9．(本题10分)填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB

＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；

(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

D D D A F A F A F

B C E B C E B C E

图① 图② 图③

(第24题图) D D

F

A B A F

B C E

C E

图④

(第24题图)

图⑤

10、已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°,如图8-1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，则有AD∥BC，

（1）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图8-2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？答 。（成立 或者AD//BC） （2）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图8-3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC,连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答： 。(AD//BC) （3）请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。

ADECBCBDECADAEB

11．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们

的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）

（图1） （图2） （图3）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出

平移的距离；

（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，

请你求出线段FG的长度；

（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH

（图4） （图5） （图6）

12．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点

的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．

(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．