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第５卷第２期 应用数学与计算数学学报 、ｒｏＩ．５ Ｎｏ．２ １９９１年１０月 ＣＯＭＭ．ＯＮ ＡＰＰＬ．ＭＡＴＨ．ＡＮＤ ＣＯＭＰＵＴ Ｏｃｔ．。１９９１ 研究简报 些迭代矩阵的特征值和特征向量及其收敛性 刘 兴 平 （应用麓理与计算敷学研兜所一北窜８００９信齄】 Ｔｈｅ Ｅｉｇｅｎｗｌｕｅｓ，Ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ ａｎｄ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｍｅ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｌｉｕ Ｘｉｎｇｐｉｎｇ 口 ｅ ｏＪ＾ ｉ耐．Ｐｈｓ＃ｉｅｍ ａｎｄ Ｇ呻Ｐ咖 ｍ Ｂ Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｉ窖ｅｎｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｉｔｅｒ－ ａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｓｕｃｈ∞ＢＰＳＤ，ＢＰＪ，ＢＭＰＳＤ ａｎｄ ＢＭＰ３ ｗｋｈ ｔｈｃ￣ｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｊａｃｏｂｉ ｉｔｅｒａｔｉ￣ｅ ｍａｔｔ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｌｌｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ Ａ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｓ ａ Ｔ（ｇ，ｒ）ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｔｒｅａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｓ ａｎａｌｙｓｅｄ ｗｈｅｎ Ａ ｉｓ ａ ｒ｛１，１）ａｎｄ ｒ（１，２）ｍａｔｒｉｘ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ａ２ｅ ｇｉｖｅｎ． 在大型科学计算中，大量的计算都归结为线性代数方程组求解，而线性代数方 程组的迭代法求璃是求解线性方程组的最有效的方法之一，因而，引起世界上大型 科学计算界的许多著名学者的重视．１９８０年ＥＶＡＮＳ，ＭＩＳＳＩＲＬＳ建立了迭代求解线性 代数方程组的ＰＳＤ方法并讨论了矩阵Ａ是对称正定时的收敛性．１９８３年ＥＶＡＮＳ在【２ ２１中说， 遗憾的是，除 外， 方法（即ＰＳＤ方法的特殊情况） 的迭代矩阵的特征值 没有象ＳＯＲ方法那样，建立起与ＪＡＣＯＢＩ迭代矩阵的特征值之间的关系式 ．本文在 系数矩阵 是Ｔ（ｑ，ｒ）阵的情况下，建立了ＰＳＤ，ＰＪ方法的迭代矩阵的特征值和特征向 量与ＪＡＣＯＢＩ方法的迭代矩阵的特征值和特征向量的关系式并在系数矩阵 是ｒ（１，１） 和ＴＩ１，２）阵的情况下讨论了ＰＳＤ，Ｐ３的收敛性． ． §１方法简介 设线性代数方程组为 ６ （１） 这里 是 阶大稀疏矩阵， ，６是ｎ维向量且Ａ…Ｄ Ｃ Ｄ—ＣＬ—Ｃｕ，Ｄ：ｄｉａｇＡ，一 奉文１９８９年７月１６日收到隹改稿 维普资讯 http://www.cqvip.com
２期 一些逃代矩阵柏特征值和特征向盈及其收敛性 和一Ｄ 分别为＾的严格下和上三角形矩阵．又设Ｌ＝Ｄ 瓯，Ｕ＝Ｄ一 Ｄ ，Ｂ：Ｌ＋Ｕ 则ＰＳＤ方法的迭代矩阵为 矗 ＝Ｉ—ｒ（ 一ｕｕＪ一 （ 一 上）一 Ｄ一 Ａ， （２Ｊ 对于参数ｒ，ｃ－－取某种特定的值，ＰＳＤ可以演变成几种不同的方法， 如：ＰＪ，ＳＳＯＲ， ＳＧＳ等方法．同样可定义块ＰＳＤ方法（ＢＰＳＤ），此时Ｄ＝ｄｉａｇ（Ａ１－ｌｊ＾２．２ ，＾ Ｊ是【１Ｊ 中非奇异矩阵＾的块对角矩阵且 １＜口＜ｍ一１， １＜ｒ＜ｍ一１， ｒ＋口＝ｐ． （３Ｊ ５ ２．ＢＰＳＤ和ＢＰＪ迭代矩阵的特征值和特征向量 我们有如下定理： 定理１设矩阵＾是Ｉ１】中的ｒ（ｑ，ｒ）阵且满足口＞ｎ２ｑ ｍ，ｒ≠（１一 ）和不等式（３） 我们有： １．若ｐ是ＢＪ方法的迭代矩阵 的特征值且＾满足方程 ｌｒ一（１一＾）ＪＰ＝（ｒ。一ｒ （２一ｃ‘，Ｊ（１一＾） （ｒ一 （１一＾Ｊ）ｑ－ｒ／￣ （４） 则＾是块ＰＳＤ方法的迭代矩阵（２）的特征值． ２．若＾是ＢＰＳＤ方法的选代矩阵（２）的特征值，则存在ＢＪ方法的迭代矩阵 的特 征值ｐ满足方程（４）． 若 ＝（ ｌ， …， ）和Ｙ＝（Ｙｌ，Ｙ２，…，Ｙ ）分别是ＢＰＳＤ方法和Ｂｊ方法的迭代矩 阵的特征向量，且满足关系式 ｉ（ｒ。一一（２一ｕ）（１一 ））（ｒ—ｕ（１一 ））一。】』－ ， ｊ＝１，２。．一，ｍ 特别是ＢＰＪ与ＢＪ迭代矩阵特征值之间满足关系式 Ａ ＝（１一 （２一ｃ‘－）（１一＾Ｊ） （１一ｃ‘，（１一＾））ｑ－ｒ ， 其特征向量的关系式是 对＝【（１一ｃ‘－（２一 Ｊ（１一＾Ｊ）（１一ｃ‘－（１一＾Ｊ）一。Ｊ旱 ， Ｊ＝’１，２，．一，ｍ （７） 这就回答了Ｅｖａｎｓ提出的问题． 注１若我们取ｒ＝１，口＝ｐ—ｌ，则得ｐ循环阵ＢＰＳＤ，ＢＰＪ方法的特征值和特征向量 与ＢＪ方法的特征值和特征向量的关系式． 当ｒ＞ｇ时，在定理ｌ的条件下，我们同样可以得到形如 毋． ＝，一ｒ（Ｊ— 上）一 （，一 Ｊ一 Ｄ一 ＾， （８） 的ＢＰＳＤ迭代矩阵与ＢＪ选代矩阵之闻特征值的关系式： ｌｒ一（１一＾ｌ｝Ｐ＝（ｒ。一ｒ ｃ‘，（２一ｕｌ（１一＾） （ｒ—ｕ（１一＾ｌｌｒ－ｑ／ａ 维普资讯 http://www.cqvip.com
８６一 应用数学与计算数学学报 ５卷 注２若Ａ． ＝啦， 我们就得到点ＰｓＤ，ＰＪ方法的特征值和犄征向量与点Ｊ方法的 特征值和特征向量的关系式－ 注３当我们取ｒ＝ｕ（２一ｕ）时．可得ｌ１】中的结果，当我们取ｒ＝１， ＝１时，可 得ＳＧＳ的关系式． §３ ＢＰＳＤ和ＢＰＪ的收敛性 在这一节中我们考虑系数矩阵＾是 ｌ，１）和Ｔ（１，２）阵时的收敛性，结果如下· 是理２设矩阵＾是Ｔ（１，１）阵且不等式（３）成立；又设 的特征值非负，则定理 １中的＾的模 小于１的充分必要条件是 ’ ＜１，０＜ ２ ０＜ｒ＜ （１０） 此处 为Ｂ的特征值ｐ的最大模． ． 定理３设矩阵＾是Ｔ（１，１）阵，不等式（３）成立；又设 的特征值非负，则：ＢＰＪ 的＾的模 小于１的充分必要条件是 。。 ≤１，１一Ｖ ２ ｕ １ Ｖ １－Ｉ－￣２ （１１） 定理４设矩阵＾是Ｔ（１，２）阵，不等式（３）成立；又设 。的特征值为实数，则ＢＰＪ 和ＢＰＳＤ方法收敛的充分条件分别是 ＜１，０＜ ＜１； （１２） 和 ’ ０＜ｒ＜１． ＜１，０＜ ＜１． （１３） 最后，本文是在胡家赣教授指导下完成的，胡家赣教授对本文的初稿提出了许 多修改意见，在此谨向他表示感谢． 参考文献 ｆ１１ Ｈｕ Ｊｉａ－ｇａｎ Ｔｈｅ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｅ ｄ Ｅｉｇ“ｖｅｃ‘∞。ｆ ｓ ｏＩｒ｜ｅ］ｔｅｒａｔ￣ｖｅ Ｍａ￣ｄｃｅｔ【ｔｏ ａｐｐｅａ Ｊ ｆ２１ Ｄ．ＤＪ．Ｍ＇Ｅｖａｎｅ ｎｄ ＮＭ．．Ｙｏｕｎ ＩｔｅｒａｔｉｖｅＭ￣ｆ ＳｏｉｌｕｔｒｌｉＩｌｉｏｎ Ｐｒ ｏｆｅｅ∞ｄ ｏｌｌ Ｌａｒｇｅ Ｓｙｓｅｄ］ｔｅｒａｔｉｔｅｍ－Ａｃａｄｅ￣ｅ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ｆｏｒ Ｔｈｅ Ｎｕｍｅｒｉｍｉｃ Ｐｒ，ｅ，ｔ Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ（１Ｑ７１）ｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ＥＩ］． ｉｐｔｌｃ Ｐａｒａｔ Ｄｉｆｅｒｅｎｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎ￣．ｐｐ．１１５．１７８ ｉｎ Ｐ ｏｎｄｉｔ￣ｏｎｉｎｇ Ｍｅｔｈｏｄ：Ａｎａｌ￣ａｎｄ Ａｐｐ１ｉｃａｔｉｏｎｍ· ＤＪ．Ｅｖ删Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ Ｂｒ￣ａｃｈ．１９８３ Ｒ．ｓ．Ｖａｒｇａ．Ｗ．Ｎｉｅｔｈ￣ｎｍｅｒ ａｎｄ Ｄ．Ｙ．ｃ矗ｉ－Ｐ－ｃｙｃｌｉｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒ￣ｍｍｅｔｄｃ￥ｕｃｃｅ￣ｓｉｖｅ Ｏｖｅｒｒｅｌｖ．￣ｔｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ－Ａｐｐ］ ５８：４２５－４３９（１９８４） 『５】蒋尔茸等．拽性代数．人民教育出蕞社（１９７９）