威远县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ） A．4320 B．2400 C．2160 D．1320

2． 已知集合M={1，4，7}，M∪N=M，则集合N不可能是（ ） A．∅ B．{1，4} C．M D．{2，7}

3． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4 4． 若{an}为等差数列，Sn为其前项和，若a10，d0，S4S8，则Sn0成立的最大自 然数为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14 5． 已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点， 则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

A．

3573 B． C. D． 44446． 已知平面向量与的夹角为

，且|a2b|23，|b|1，则|a|（ ） 31A． B．3 C． D．

27． 已知函数f(x)f'(1)xx1，则f(x)dx（ ）

0A．7755 B． C． D． 6666【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.

8． 圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ ）

22第 1 页，共 16 页

A． B．21 C．

21 D．221 29． 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（ ） A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6

10．记集合A=(x,y)x+y?1和集合B=(x,y)x+y３1,x{22}{ 0,y?0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，

若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ） A．

1121 B． C． D．

3p2ppp【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

11．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（ ） A．π

B．

C．

D．

12．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给

出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③

D．③④

二、填空题

y2x13．设x,y满足约束条件xy1，则zx3y的最大值是____________．

y1014．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．

15．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过

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M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值． 16．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 .

三、解答题

17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．

（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．

18．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

19．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法 知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：

甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 （1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

*

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掌握更稳定；

（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的 分数差至少是4的概率.

20．数列{an}满足a1=

，an∈（﹣

，

*

），且tanan+1•cosan=1（n∈N）．

22

（Ⅰ）证明数列{tanan}是等差数列，并求数列{tanan}的前n项和；

（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sinam=1．

21．（本小题满分12分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(31)acosB2bcosAc， （Ⅰ）求

tanA的值； tanB6，B（Ⅱ）若a

4，求ABC的面积．

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22．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．

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威远县第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．

2． 【答案】D

【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M， ∴集合N不可能是{2，7}， 故选：D

【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．

3． 【答案】A 【解析】

﹣

）•

=932

•

=388，

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 4． 【答案】A 【解析】

考

点：得出数列的性质及前项和．

【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推

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理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“a10，d0”判断前项和的符号问题是解答的关键．

5． 【答案】D 【解析】

考

点：异面直线所成的角. 6． 【答案】C

考点：平面向量数量积的运算． 7． 【答案】B

8． 【答案】B 【解析】

试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半

22径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 1 9． 【答案】D

【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，

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∵函数f（x）是偶函数，

∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D

10．【答案】A

【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示DOAB及其内部，

11由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为P=2=，故选A.

p2py1BOA1x

11．【答案】D

2

【解析】解：由函数f（x）=sin（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为

=π，可得ω=1，

故f（x）=﹣cos2x．

若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象； 再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+则实数a的最小值为故选：D

【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．

12．【答案】D

【解析】

【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

．

，a=

+

，k∈Z．

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【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB=

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确

使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；

取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故选D

二、填空题

13．【答案】【解析】

试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点A,7 3712处取得最大值为. 333考点：线性规划．

14．【答案】 x﹣y﹣2=0 ．

【解析】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），

所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0， 故答案为x﹣y﹣2=0．

【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．

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15．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．① 将①与拋物线x2＝2py联立得， x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2）， ∴kPQ＝

2p（－k－t）2－2p（k－t）22p（－k－t）－2p（k－t）

＝－2t，

即直线PQ的斜率为－2t.

x2x

（2）由y＝得y′＝，

2pp

2pt

∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝＝2t.

p其切线方程为y－2pt2＝2t（x－2pt）， 又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0， p

－）． 2p

∴－－2pt2＝2t（－2pt）．

2

11

解得t＝±，即t的值为±.

2216．【答案】23 【解析】

试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．

1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正

22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式

111abcabsinC，ah，(abc)r，等等． 2224R

三、解答题

17．【答案】

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【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立， 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立， 则

解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立， 即令﹣﹣﹣﹣

当 m＞0时，g（x）是增函数， 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0， 解得

．所以

恒成立．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m＜0时，g（x）是减函数． 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0， 解得m＜6． 所以m＜0． 综上所述，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（n∈N），a1=2，

*

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 题的关键．

18．【答案】

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2∴∴b1=1，

32

又b3=3+b2．∴2=2q，解得q=2． n

∴an=2．

，，

=2q＞0，

， =2q2，

∴

=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

，

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∴（2）cn=

=

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

=

．

=

﹣

，

﹣+…+

=﹣2

==

﹣

﹣2+﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．【答案】（1）x甲90,x乙90,s甲【解析】

试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.

试题解析：解：（1）x甲（8788919193）90，x乙（8589919293）90

22421,s乙8，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）. 521515124 [(8790)2(8890)2(9190)2(9190)2(9390)2]5512s乙[(8590)2(8990)2(9190)2(9290)2(9390)2]8

5248，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分） ∵5 s甲2第 12 页，共 16 页

考

点：1.平均数与方差公式；2.古典概型． 20．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，an∈（﹣

2

故tanan+1=

*

），且tanan+1•cosan=1（n∈N）．

，

=1+tan2an，

22

∴数列{tanan}是等差数列，首项tana1=，以1为公差．

∴

2

∴数列{tanan}的前n项和=

=+

．

=

．

（Ⅱ）解：∵cosan＞0，∴tanan+1＞0，∴tanan=

，

，

．

∴sina1•sina2•…•sinam=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tanam•cosam） =（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tanam•cosam﹣1）•（tana1•cosam） =（tana1•cosam）=由

，得m=40．

=

，

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解： （Ⅰ）由(31)acosB2bcosAc及正弦定理得

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(31)sinAcosB2sinBcosAsinCsinAcosB+cosAsinB， （3分）

∴3sinAcosB3sinBcosA，∴tanAtanB3（6分）

6sin（Ⅱ）tanA3tanB3，A3，basinBsinAsin42， （8分） 3sinCsin(AB)624， （10分） ∴ABC的面积为12absinC126262412(33)（12分） 22．【答案】（1）a＝12（2）（－∞，－1－18e]．（3）27

【解析】

f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥

2lnxx2． 令g（x）＝2lnx212lnxx2，x＞0，则g（x）＝x3．

令g（x）＝0，解得x＝e．

当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．

所以g（x）1max＝g（e）＝e， 所以－（a＋1）≥11e，即a≤－1－e，

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2）

（所以a的取值范围为（－∞，－1－

1]． e（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4． 令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．

②当

5＜a＜2时， 3

当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．

又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1． 因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．

5，2）上单调递增， 3558所以当a∈（，2）时，h（a）＞h（）＝．

3327所以h（a）在（③当a≥2时，

当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，

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所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为

8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.

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