机械优化设计习题参--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学⽂案
第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=?-+-=x x x g x x x g ts x x x f
试从第k 次的迭代点[]T k x21)
(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254
所确定的⽅向进⾏搜索，完成⼀次迭代，获取⼀个新的迭代点)1(+k x 。并作图画出⽬标函数
的等值线、可⾏域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机⽅向：[]T TR
S 0.4120.9110.2540.5620.254
0.2540.5620.5622222-=++=
2) ⽤公式：R k k S x xα+=+)()
1( 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界
上的最⼤步长。到第⼆个约束边界上的步长可取为2，则：176
.1)412.0(22822.0911.0212212111
=-?+=+==?+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα
=+176.1822.01
k X
即： 该约束优化问题的⽬标函数的等值线、可⾏域和本次迭代的搜索路线如下图所⽰。
2．已知约束优化问题：)(0)(0
25)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g ts x x x f
试以[][][]T T T x x x 33,14,1203020
1===为复合形的初始顶点，⽤复合形法进⾏两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的⽬标函数值，并判断各顶点是否为可⾏点：[][][]935
120101-=?==?=-=?=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可⾏点，其中，为最坏点。为最好点，0203x x
2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中⼼点：
+??= +??==∑≠=3325.22113210
3312i i i c x Lx
3）计算反射点1
R x （取反射系数3.1=α）20.69
3.30.551422.51.322.5)(1102001-=
= -+=-+=R R c c R f x x x x x 值为可⾏点，其⽬标函数经判断α 4）去掉最坏点1R
0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进⾏新的⼀轮迭代。
5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中⼼点得：
=? ??+=
3.151.7753.30.5533211c x 6）计算新⼀轮迭代的反射点得：，完成第⼆次迭代。
值为可⾏点，其⽬标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(12011
12-==???? ??-?????+=-+=R R c c R f x x x x x α
3．设已知在⼆维空间中的点[]T x x x 21=，并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=?，⽬标函数的梯度[]T f 15.0-=?，试⽤简化⽅法确定⼀个适⽤
的可⾏⽅向。 [解] 按公式6-32 计算适⽤的可⾏⽅向：)(k k kx f P x f P d ??-=/)(k
x 点的⽬标函数梯度为：[]T kxf 15.0)(-=?kx
点处起作⽤约束的梯度G 为⼀个J n ? 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：[]T k x g G 11)(1--=?=
梯度投影矩阵P 为：[][][]??--=-?
----??????---??????=-=--5.05.05.05.0011111111100111TTGGG G I P
则：适⽤可⾏⽅向为：
-=??-??--?
----=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5kd
4．已知约束优化问题：00)(3
4)(min 3322113)43(222121≤-=≤-=≤-=?-+-=x g x g x g t
s x x x x x x f 试求在[]T kx1/21/4
=点的梯度投影⽅向。
[解] 按公式6-32 计算适⽤的可⾏⽅向：)(k k kx f P x f P d ??-=/)(k
x 点的⽬标函数梯度为：[]T kxf 125.0125
.0--=?)(kx
点处起作⽤约束的梯度G 为⼀个J n ? 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：[]T k x g G 001)(1-=?=
梯度投影矩阵P 为：[][][]
=-??
--??????????--??????????=-=--10001000000100100100110001000111TT G GG G I P
则：适⽤可⾏⽅向为：
=????
--???
--???-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100kd312)(2112
221≤-=?+-+=x g ts x x x x f m in
（提⽰：可构造惩罚函数 []∑=-=21
)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后⽤解析法求解。） [解] 构造内点惩罚函数：
[]∑=--+-+=-=21
)()(),(u u x r x x x x g r x f r x )3ln(12ln 212221φ
令惩罚函数对x 的极值等于零：0)3/()(22
2221=----=x r x x dx d φ 得：48366121r x x +±== 舍去负根后，得483662rx ++=
当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。00)( min1 2221 121≤-=≤-=?+=xgx xg tsxx
xf
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(1)+x(2)end
subroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)end
subroutine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=0.0end
然后，利⽤惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 2 KH= 0
X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01
GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01
GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01PEN = .5000000E+01
R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============
IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06X : .9493056E-07 .7203758E-07FX: .1669681E-06
GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07
7．⽤混合惩罚函数法求下列问题的最优解：1)(0)()(212111
2≤-+=≤-=?-=x x x h x x g t
s x x x f ln m in
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) endsubroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end然后，利⽤惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：
============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01
GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05
=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R=.7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05 FX: -.1000012E+01GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.26165E-06