中考数学压轴题(含答案)

目 录

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2021年义乌市中考第24题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例2 2021年扬州市中考第27题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例3 2021年杭州市中考第22题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例4 2021年上海市中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例5 2021年义乌市中考第24题 例6 2021年杭州市中考第24题 1.6 因动点产生的面积问题 例7 2021年河南省中考第23题 1.7 因动点产生的相切问题 例8 2021年无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例9 2021年天津市中考第25题 第二部分 图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2021年宁波市中考第26题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例2 2021年广东省中考第22题 第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2021年南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例2 2021年江西省中考第24题

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2021年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似． 思路点拨

1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了． 2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方． 满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线x?1，解析式为y?（2） 梯形O1A1B1C1的面积S?1211． x?x，顶点为M（1，?）8842(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6，由此得到 2s12111x1?x2??2．由于y2?y1?3，所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3．整理，得 38484721??1． (x2?x1)?(x2?x1)???3．因此得到x2?x1?S84???x2?x1?14,?x1?6,当S=36时，? 解得? 此时点A1的坐标为（6，3）．

?x2?x1?2.?x2?8.（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x

轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G． 在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF． 因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD． 由于tan?GAF?

3t203DQt，tan?PQD?，所以?．解得t?． ?45?t74QP5?t 图3 图4 考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

1.2 因动点产生的等腰三角形

例2 2021年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．

（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O―C―A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形． 思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答

?y??x?7,?x?3, 所以点A的坐标是(3，4)．

（1）解方程组? 得?4?y?x,?y?4.?3?令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△，

ACP?SP△OR?8111得（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t2?8t?12?0．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8． 图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B． 如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

35520在△APQ中， cos?A?为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?OR?t?． 533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7?t?t?，得t?．

338如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．

1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cos?A?．因此AQ?2AP．解方

程?cos?AAP2265203． t??2(7?t)?，得t?4333541226综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形． 843

图5 图6 图7 考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．

感谢您的阅读，祝您生活愉快。