一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣A．2021
的倒数是（ ）
B．﹣
C．﹣2021
D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．（a2）3＝a5
C．﹣3a2b﹣2a2b＝﹣a2b
B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣a2b÷a2＝﹣b
3．（3分）2020年春季，一种新型冠状病毒肆虐着人们的健康，据了解，这种新型冠状病毒的直径约为125纳米，若1米＝109纳米，则这种冠病毒的直径用科学记数法可表示为（ ） A．1.25×10C．1.25×10
﹣9
米 米
B．1.25×107米 D．1.25×109米
﹣7
4．（3分）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是（ ） A．42，37
B．39，40
C．39，41
D．41，42
5．（3分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．n（n≥3）边形的外角和为360° C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根，则m的最小整数值是（ ） A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
8．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述规律，则第2021个单项式是（ ） A．﹣6061x2021
B．6061x2021
C．6064x2021
D．﹣6064x2021
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝12，则△ACD的面积是（ ）
A．36
B．18
C．15
D．9 及
11．（3分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数
的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）以方程组
的解为坐标的点（x，y）在第 象限．
14．（3分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置在两平行线（l1∥l2）之间，则图中的∠1＝ ．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，
CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是 ．
16．（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
17．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是 ．
18．（3分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，则k的值为 ． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19．（6分）计算：2cos4520．（6分）先化简，再求值：（数代入求值．
|+（）2﹣（2020﹣π）0．
﹣
﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别 A B C D E F
成绩x（单位：次）
70≤x＜90 90≤x＜110 110≤x＜130 130≤x＜150 150≤x＜170 170≤x＜190
人数 4 15 18 12 m 5
（1）求本次测试随机抽取的人数，并求出m的值； （2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀？
22．（8分）如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得∠C＝45°，CD＝60m，∠BDE＝30°．已知电视塔高AB＝150m，求山高BE的值．（参考数据：
1.414，
1.732，精确到1m）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）某商场在五四青年节来临之际用2400元购进A，B两种运动衫共22件．已知购买A种运动衫与购买B种运动衫的费用相同，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．
（1）求A，B两种运动衫的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过5600元的资金再次购进A，B两种运动衫共50件，已知A，B两种运动衫的进价不变．求A种运动衫最多能购进多少件？
24．（9分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G． （1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA； （3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝
+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），
点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣A．2021
的倒数是（ ）
B．﹣
C．﹣2021
D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【解答】解：﹣故选：C．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．（a2）3＝a5
C．﹣3a2b﹣2a2b＝﹣a2b
B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．﹣a2b÷a2＝﹣b
的倒数是：﹣2021．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：（a2）3＝a6，故选项A错误； （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B错误； ﹣3a2b﹣2a2b＝﹣5a2b，故选项C错误； ﹣a2b÷a2＝﹣b，故选项D正确； 故选：D．
3．（3分）2020年春季，一种新型冠状病毒肆虐着人们的健康，据了解，这种新型冠状病毒的直径约为125纳米，若1米＝109纳米，则这种冠病毒的直径用科学记数法可表示为（ ） A．1.25×10C．1.25×10
﹣9
米 米
B．1.25×107米 D．1.25×109米
﹣
﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：125纳米＝125×0.000000001米＝1.25×10
﹣7
米．
故选：C．
4．（3分）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是（ ） A．42，37
B．39，40
C．39，41
D．41，42
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【解答】解：从小到大排列此数据为：37、39、39、41、42、45，数据39出现了两次最多为众数，39和41处在第3位和第四位，他们的平均数为40，所以40为中位数．所以本题这组数据的中位数是40，众数是39． 故选：B．
5．（3分）如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在视图中． 【解答】解：从左面看，底层是一行两个矩形，上层的中间是一个较大的矩形． 故选：D．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ） A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．n（n≥3）边形的外角和为360° C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据三角形的外角性质、多边形的外角和、矩形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、三角形的外角大于它的任何一个与它不相邻的内角，本选项说法是假命题；
B、n（n≥3）边形的外角和为360°，本选项说法是真命题；
C、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，本选项说法是假命题；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题； 故选：B．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根，则m的最小整数值是（ ） A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【分析】利用判别式的意义得到△＝[﹣2（m+1）]2﹣4m2≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可．
【解答】解：根据题意得△＝[﹣2（m+1）]2﹣4m2≥0， 解得m≥﹣．
所以m的最小整数值为0， 故选：C．
8．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变， 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加， 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力， 故选：D．
9．（3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述规律，则第2021个单项式是（ ） A．﹣6061x2021
B．6061x2021
C．6064x2021
D．﹣6064x2021
【分析】观察关于x的单项式，奇数项为负，偶数项为正数，x的指数与项的序号相同，依此规律可得第2021个单项式．
【解答】解：由题意可得：这些都是关于x的单项式，奇数项为负，偶数项为正数，x的指数与项的序号相同；
观察各项系数的绝对值有如下规律： 第1项的绝对值为：1＝1+3×0， 第2项的绝对值为：4＝1+3×1， 第3项的绝对值为：7＝1+3×2， 第4项的绝对值为：10＝1+3×3， ， •
第2021项的绝对值为：1+3×2020＝6061． ∴第2021个单项式为：﹣6061x2021． 故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝12，则△ACD的面积是（ ）
A．36
B．18
C．15
D．9
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB＝DQ＝3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B＝90°，BD＝3， ∴DB＝DQ＝3， ∵AC＝12，
∴S△ACD＝•AC•DQ＝×12×3＝18， 故选：B．
11．（3分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数
及
的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，由题意可知△AOB的面积为k1﹣k2．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，
∴△AOB的面积为k1﹣k2， ∴k1﹣
＝4，
∴k1﹣k2＝8， 故选：D．
12．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
【分析】由三角形中位线定理可得CD＝AP，即当AP为直径时，CD长最大，由直角三角形的性质可求AP的长，即可求解． 【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点 ∴CD＝AP，
当AP为直径时，CD长最大， ∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4， ∴AP＝4
．
．
∴CD长的最大值为2故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 四 象限．
【分析】求出方程组的解确定出点坐标，即可做出判断． 【解答】解：
，
①﹣②得：3y＝﹣6，即y＝﹣2， 将y＝﹣2代入②得：x＝， ∴所求坐标为（，﹣2）， 则此点在第四象限． 故答案为：四．
14．（3分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置在两平行线（l1∥l2）之间，则图中的∠1＝ 15° ．
【分析】延长BC交直线l1于A，首先计算∠BAD＝120°，根据平角的定义可得∠ACD＝45°，最后根据三角形内角和定理可得结论． 【解答】解：延长BC交直线l1于A，
∵l1∥l2，且∠ABE＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BCE＝90°，∠DCE＝45°， ∴∠ACD＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠BAD﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣120°＝15°． 故答案为：15°．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概
率是 ．
【分析】用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可求得答案． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积＝S四边形ABCD， ∴点A落在阴影区域内的概率为， 故答案为：．
16．（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等） ．（只填一个即可）
【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件． 【解答】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC； 当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC； 当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC． 故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
17．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是 （4，） ．
【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB﹣OA，即可得出答案． 【解答】解：在令y＝0，得∴A（
中，令x＝0得，y＝4， ，解得x＝
，
，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝，OB＝O1B＝4， ∴∠OBO1＝90°， ∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4横坐标为O1B＝OB＝4， 故点A1的坐标是（4，故答案为：（4，
）．
），
＝
；
18．（3分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，则k的值为 ±3 ．
【分析】由已知可设P（b，0），则点P的“k属派生点”P′点为（b，kb），再由题意可得|kb|＝3|b|，即可求k的值．
【解答】解：∵点P在x轴的正半轴上， ∴P点的纵坐标为0， 设P（b，0），
则点P的“k属派生点”P′点为（b，kb），
∴PP'＝|kb|，PO＝|b|，
∵线段PP′的长度为线段OP长度的3倍， ∴|kb|＝3|b|， ∴k＝±3． 故答案为±3．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19．（6分）计算：2cos45
|+（）2﹣（2020﹣π）0．
﹣
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝2×＝
﹣
+1+4﹣1
﹣（
）+4﹣1
＝4．
20．（6分）先化简，再求值：（数代入求值．
【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可． 【解答】解：原式＝＝
＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
•
•
﹣x）÷
，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整
A B C D E F
70≤x＜90 90≤x＜110 110≤x＜130 130≤x＜150 150≤x＜170 170≤x＜190
4 15 18 12 m 5
（1）求本次测试随机抽取的人数，并求出m的值； （2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀？
【分析】（1）根据90≤x＜110的人数和该成绩段的百分比，计算抽样人数；根据各个成绩段的人数和等于抽查人数，计算m的值； （2）先算C等的百分比，再计算圆心角的度数；
（3）计算成绩不低于130所占的百分比，再估计七年级的优秀人数． 【解答】解：（1）15÷25%＝60（人）， m＝60﹣4﹣15﹣18﹣12﹣5＝6； 答：本次测试随机抽取的人数是60人； （2）C等级所在扇形的圆心角的度数＝360°×（3）该校七年级学生能够达到优秀的人数为 300×
＝115（人）．
＝108°，
答：七年级学生能够达到优秀的人数为115人．
22．（8分）如图，在山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得∠C＝45°，CD＝60m，∠BDE＝30°．已知电视塔高AB＝150m，求山高BE的值．（参
考数据：1.414，1.732，精确到1m）
【分析】设BE＝x米，由30°角的三角函数得DE＝
BE＝
x（米），再证△ACE是
等腰直角三角形，得AE＝CE，由AB+BE＝CD+DE列出方程，解方程即可得到山高BE的值．
【解答】解：设BE＝x米， 在Rt△BDE中，∠BDE＝30°， ∴BD＝2BE＝2x， ∴DE＝
＝
＝
x（米），
在Rt△ACE中，∠C＝45°， ∴∠A＝45°， ∴∠A＝∠C， ∴AE＝CE， ∴AB+BE＝CD+DE， 即150+x＝60+解得：x＝45（
x，
+1）≈123（米），
即山高BE的值约为123米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）某商场在五四青年节来临之际用2400元购进A，B两种运动衫共22件．已知购买A种运动衫与购买B种运动衫的费用相同，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．
（1）求A，B两种运动衫的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过5600元的资金再次购进A，B两种运动衫共50件，已知A，B两种运动衫的进价不变．求A种运动衫最多能购进多少件？
【分析】（1）设B种运动衫单价为x元/件，则A种运动衫单价为1.2x元/件，根据数量＝总价÷单价结合用2400元购进A、B两种运动衫共22件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结果；
（2）设购进A种运动衫m件，则购进B种运动衫（50﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不超过5600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结果．
【解答】解：（1）设B种运动衫单价为x元/件，则A种运动衫单价为1.2x元/件， 由题意得：解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝120，
∴A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件； 答：A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件． （2）设购进A种运动衫m件，则购进B种运动衫（50﹣m）件， 由题意得：120m+100（50﹣m）≤5600， 解得：m≤30．
答：A种运动衫最多能购进30件．
24．（9分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
+
＝22，
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，AD∥BC，从而可以
得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形， 理由：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G． （1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA； （3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．
【分析】（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证； （2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD， ∵
＝
，
，则结论得证；
，则EF可求出．
∴∠AED＝∠ABD， ∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点， ∴
＝
，
∴∠EDB＝∠DAE， ∵∠DEG＝∠AED， ∴△EDG∽△EAD， ∴
，
∴ED2＝EG•EA； （3）解：连接OE，
∵点E是劣弧BD的中点， ∴∠DAE＝∠EAB， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠AEO， ∴∠AEO＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴
，
∵BO＝BF＝OA，DE＝2， ∴
，
∴EF＝4．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝
+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），
点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、B坐标代入即可得解析式；
（2）求出AB解析式，设P横坐标表达E坐标和EP长，将四边形AECP面积分成△EAC和△PAC面积之和表达出来，求出面积取最大值时P的横坐标进而求出P坐标； （3）画出图形观察、计算线段长可以发现∠PCQ＝∠BAC，夹这两角的边对应成比例时两三角形就相似，故有两种情况．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c经过A（0，1），B（﹣9，10），
∴
解得b＝2，c＝1，
，
∴抛物线的解析式是y＝x2+2x+1， 故答案为：y＝x2+2x+1；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，1），B（﹣9，10）代入得：解得m＝﹣1，n＝1， ∴AB解析式为y＝﹣x+1，
由x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6， ∴C（﹣6，1），AC＝6，
∵P在AC下方抛物线上，设P（t，t2+2t+1），
，
∴﹣6＜t＜0
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E， ∴E（t，﹣t+1），
∴EP＝（﹣t+1）﹣（t2+2t+1）＝﹣t2﹣3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC＝AC•EF+AC•PF＝AC•EP， ∴S四边形AECP＝×6×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣9t＝﹣（t+）2+∵﹣6＜﹣＜0，
∴t＝﹣时，S四边形AECP最大为，
故答案为：P（﹣，﹣）；
（3）∵抛物线y＝x2+2x+1顶点为P， ∴P（﹣3，﹣2），
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，且AB解析式为y＝﹣x+1，
∴E（﹣3，4），F（﹣3，1），
而C（﹣6，1），A（0，1），B（﹣9，10）， ∴CF＝FP＝EF＝FA＝3，AB＝9
，CP＝3
，
，此时t2+2t+1＝×（﹣）2+2×（﹣）+1＝﹣
，
∴∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应， 设Q（k，1），则CQ＝k+6，分两种情况： ①如答图1，△CPQ1～△ABC， 则
可得
，
解得k＝﹣4，此时Q1（﹣4，1），
②如答图2，△CQ2P～△ABC， 则
可得
，
解得k＝3，此时Q2（3，1），
综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q有两个，分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1），
故答案为：存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q坐标分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1）．
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