高三数学空间向量专题复习附答案

例1、 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900, BAC300,BC1,A1A6,M是CC1得中点。求证：A1BAM

CB

A M B C y

A

练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

z

D1C1

B1 A1P

CDy

BAx

1 1 1 z 例2 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE,求证：MN//平面CDE

F z N A B x M D y C E 1313练习1、在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE

- 1 -

A x D FA1 z D1 C1 B1 E C y B

2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ABC60，

PAACa,PBPD2a,点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点

F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

二、利用空间向量求空间的角的问题

A D B x C y F E z P 例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。

A1 1414z D1 H F1 E1 C1 B1 D C y G B A x 例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且

D1E1

1D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小 z 4DA1 1 E1 C1 B1 D FA x B C y 例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求二面角A1BDC1的大小。

z D1 C1 - 2 -

A1 B1 D C

例4 已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求： （1）A1D与EF所成角的大小；

（2）A1F与平面B1EB所成角的大小； （3）二面角CD1B1B的大小。

F C D y E A B x

三、利用空间向量求空间的距离的问题

例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。

A1

B1

xA

By

例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2

A1 z D1 C1 B1 zC1CABAD2

A（I）求证：AO平面BCD；

D （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； O（III）求点E到平面ACD的距离。

C BE例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

DC（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。

FAB - 3 -

E

空间向量与立体几何考点系统复习

一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）

例1、 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900, BAC300,BC1,A1A6,M是CC1得中点。求证：A1BAM

证明：如图，建立空间坐标系

A1(3,0,6),B(0,1,0),A(3,0,0),M(0,0,AM(3,0,AMA1B0

C1 z B1 6) 2A1 M 6),A1B(3,1,6) 2A C B y 练习：棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

z解：以D为原点建立如图所示的坐标系，

D1C1设存在点P（0，0，z），

AP=(-a,0,z)，AC=(-a,a,0)，DB1=(a,a,a)，∵B1D⊥面

DB1AC0

A1B1PDCBPAC，∴DB1AP0，

yxA∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合 ∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC 例2 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE,求证：MN//平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c

NMNAABBM(2a,0,c)

F z N A B x M D y C E 1313又平面CDE的一个法向量AD(0,3b,0) 由NMAD0 得到NMAD

因为MN不在平面CDE内

- 4 -

所以NM//平面CDE

练习1、在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE

证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz

1DA(1,0,0),DE(1,1,,)

21因为D1F(0,,1)

2z D1 C1 A1 B1 所以D1FDA0,D1FDE0

D1FDA,ED F C y D1FDE DEDAD 所以D1F平面ADE B A x 2、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ABC60，

PAACa,PBPD2a,点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点

F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.

解答：根据题设条件，结合图形容易得到：

3aa2aa,,0),D(0,a,a),E(0,,) 22333aaC(,,0),P(0,0,a)

223aaCP(,,a)

22B(z P 假设存在点F

3aaCFCP(,,a)。

22A F E D y 3a BFBCCF,(1)a,a22B x C 又AE(0,3aa2aa,,0) ,)，AC(2233则必存在实数1,2使得BF1AC2AE，把以上向量得坐标形式代入得

31a3a12221a22a1131 即有BFACAE (1)a22322232aa223所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。

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二、利用空间向量求空间的角的问题

例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。

解：设正方体棱长为4，以DA,DC,DD1为正交基底，建立如图所示空间坐标系

Dxyz

BE1(0,1,4),DF1(0,1,4)，BE1DF1＝15

A1 z D1 H F1 E1 C1 1414B1 cosBE1,DF1BE1DF1|BE1||DF1|15 17D C y 例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1E11D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小 4A x G B 解：设正方体棱长为1，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz

DB1为D1AC平面的法向量，DB1(1,1,1)

A1 z D1 E1 C1 B1 13E1F(,,1)

24cosDB1,E1F87 8787 87D FA x B C y 所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为

例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求二面角A1BDC1的大小。

解： 求出平面A1BD与平面C1BD的法向量

A1 z D1 C1 B1 n1(1,1,1),n2(1,1,1)

1cosn1,n2

|n1||n2|3n1n2D E A x B C y 例4 已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求： （1）A1D与EF所成角的大小；

（2）A1F与平面B1EB所成角的大小； （3）二面角CD1B1B的大小。

解：设正方体棱长为1，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立如图所示坐标系

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D-xyz

（1）A1D(1,0,1)

11EF(,,0)

22cosA1D,EFA1DEF|A1D||EF|1 2D A x z D1 C1 A1 B1 F E B A1D与EF所成角是600 （2）A1F(1,,1),AB(0,1,0)

cosA1F,ABA1FAB|A1F||AB|1 3AC1AC|AC1||AC|C y 12（3）AC1(1,1,1),AC(1,1,0)，cosAC1,AC二面角CD1B1B的正弦值为

6 36 3三、利用空间向量求空间的距离的问题

例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。

解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：

A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,3 ），B1（0,1,3 ），C1（0,0,3 ） ∴A1B =（－1,1,－3 ），A1C =（－1,0,－3 ）B1A1 =（1,－1,0） 设平

面

A1BC

的一个法向量为n(x,y,z)，则zx3nA1B0xy3z0y0 z1x3z0nA1C0A1C1

即n(3,0,1)

所以，点B1到平面A1BC的距离d|nA1B1||n|xAB1C3 2By例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2

ABAD2

A

（I）求证：AO平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的大小； OBD- 7 -

EC（III）求点E到平面ACD的距离。 解：（I）略

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

13B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(,,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0).

22 cosBA,CDBA.CDBACD2, 4zA

异面直线AB与CD所成角的大小为arccos2. 4OBD（III）解：设平面ACD的法向量为n(x,y,z),x则 n.AD(x,y,z).(1,0,1)0,xz0, 3yz0.n.AC(x,y,z).(0,3,1)0,ECy

13,0), 令y1,得n(3,1,3)是平面ACD的一个法向量，又EC(,22点E到平面ACD的距离h

EC.nn321. 77例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，

F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

DC（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。 解（Ⅰ）略

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴， AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴， 建立空间直角坐标系O—xyz，如图. FABAE面BCE，BE面BCE， AEBE，

在RtAEB中,AB2,O为AB的中点，

OE1A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

EAE(1,1,0),AC(0,2,2). 设平面AEC的一个法向量为n(x,y,z)， yx,AEn0,xy0,即则解得 2y2x0.zx,ACn0,令x1,得n(1,1,1)是平面AEC的一个法向量.

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又平面BAC的一个法向量为m(1,0,0)，

cos(m,n)m,n|m||n|133. 33. 3∴二面角B—AC—E的大小为arccos（III）∵AD//z轴，AD=2，∴AD(0,0,2)， ∴点D到平面ACE的距离d

|ADn||n|2323. 3 - 9 -