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2018年 2018年学年度高二数学椭圆和双曲线检测卷 9a6eb7c837e14e6a9d569a5ad3048a3a

来源：化拓教育网




专业整理

2017-2018学年度高二数学椭圆与双曲线检测卷

学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题

1．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A. 3

B. 2

C.

3

D.

2


2．“k＜0”是“方程

A. 充分不必要条件

1

x

2

?

y

2

?

1

表示双曲线”的（ ）

?

k

k

B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

．已知双曲线

x

2

?

y

2

?

1(

a

?

0,

b

?

0)

的一条渐近线与圆

?

x

?

2

?

2

?

y

2

?

6

相交于，

3

a

2


b

2














A

B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（ ）

A. 2

B.

5 3

C.

3 5

D.

2

3

5

4．点P 是双曲线

x

2

?

y

2

?

1(

a

?

0,

b

?

0)

上的点，

F F 1 2

是其焦点，双曲线的离心率

a

2

b

2


是

5

，且

?????????

PF 1?PF ?2

0

,若

?F PF 1 2

的面积是18，则

a

?

b

的值等于（

）

4


A. 7

B. 9

C.

7 2

D.

9 2

5．设双曲线

x

2

?

y

2

?

1(

a

?

0,

b

?

0)

的实轴轴长为2，焦距为

2 3

，则双曲线的渐近

a

2

b

2

线方程为( )A.

y

??

1

x

B.

y

??

2

x

C.

y

??

2

x

D.

y

??2

x

2

2




6．直线： 与双曲线：交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

7．已知椭圆：

（

）的右焦点为，短轴的一个端点为

，直线：

交椭圆于，两点，若 ，点到直线的距离等于，则椭圆的

焦距长为

WORD格式



专业整理

A.

B.

C.

D.

8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为

，直线与椭圆相交于

，两点，

中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）

A.

B.

C.

D.

9．椭圆的左顶点到右焦点的距离为（）

A.

B.

C.

D.

10．双曲线的渐近线方程为（）

A.

B.

C.

D.

11．双曲线

x

2

?

y

2

?

1(

a

?

b

?

0)

的左、右焦点分别为

F F 1 2

，过

F

作倾斜角为

30

0

的

a

2

b


1



直线与

y

轴和双曲线右支分别交于

A B

两点，若点

A

平分

F B 1

，则该双曲线的离心率

是（

）

A.

3

B.

2

C. 2

D.

3

3

二、填空题

12．已知双曲线

x

2


?

y

2


?

1

的离心率为

7

，则m= ______.

m

?

2

m

?

1




2

13．设双曲线： （，），，分别是双曲线的左、右焦点．若双曲

线存在点 ，满足（为原点），则双曲线的离心率为__________．

14．已知

，

是椭圆

的两个焦点，过

的直线交椭圆于、两点，若

，则__________．

15．已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点， 且，则

WORD格式



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的面积为__________．

16．点

F

为双曲线

C

:

x

2

?

y

2

?

1

?

a

?

0,

b

?

0

?

的右焦点，以

F

为圆心的圆过坐标原



a

2

b

2









点

O

，且与双曲线

C

的两渐近线分别交于

A、B

两点，若四边形

OAFB

是菱形，则双

曲线

C

的离心率为__________．

17．已知椭圆

C

经过点

M??

?

3 1, 2

???

和点

N???

?

3 3, 2

????

，则其标准方程为_______.

18．若方程表示椭圆，则m 的取值范围是_____．

19．椭圆的短轴长为6，焦距为8，则它的长轴长等于_____．

．若直线

ax

?

y

??

0

经过椭圆

x

2

?

y

2

?

1

的右焦点，则实数

a ?

．

20



25


16





__

21．双曲线

x

2

?

y

2

?

1

的顶点到其渐近线的距离等于______________．

22．已知椭圆

离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个

交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆的方程为_______________

三、解答题

23．（1）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方

程。

（2）已知双曲线过点，一个焦点为，求双曲线的标准方程。

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24．已知中心在原点

O

，焦点在

x

轴上的椭圆

E

过点

????

6 1

,

2 2

????

，离心率为

2

.

，

2

（1）求椭圆

E

的方程；

（2）直线过椭圆l

E

的左焦点

F

，且与椭圆

E

交于

A B

两点，若

?OAB

的面积为

2



3

求直线的方程. l

25．椭圆: （

）的右焦点为，为椭圆上一动点，连接

交椭圆于

点，且的最小值为．

（1）求椭圆方程；

（2）若，求直线的方程．

WORD格式



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参1．B

【解析】?

M

，N

是双曲线的两顶点，

M

，，N

将椭圆长轴四等分

?

椭圆的长轴长是双曲线实轴长的

2

倍

?

双曲线与椭圆有公共焦点，

?双曲线与椭圆

的离心率的比值是

2

故答案选B
2．A

【解析】若方程


x

2

?

y

2

?

1

表示双曲线，则k（1-k）＜0，即k（k-1）＞0，解得k＞1 或k＜


1

?

k


k




0，

即“k＜0”是“方程


x

2

?

y

2

?

1

表示双曲线”的充分不必要条件


1

?

k


k




故选A
3．D

【解析】双曲线

x

2

?

y

2

?

1(

a

?

0,


?

0)

的一条渐近线

bx

?

ay

?

0

,?

AB

?

4,

r

?

6,?

a

2

b

2








0




??

a

圆心

?

2,0

?

到渐近线的距离为

2

,即

b

2 b

a

2

?

2

,解得

b

?

a

,

2

?

b

2

?

2

a

,

2

?

此双曲线的离心率为

e

?

c

?

2

,故选D.

a

4．C

【解析】不妨设点P 是双曲线

x

2

?

y

2

?

1(

a

?

0,

b

?

0)

右支上的点，

PF 1

?

m PF 2

?

n

,

a

2

b

2













7 2

1

mn

?

18

2

5 2,??

c

2

?

a

2

?

3 2

,则

a

?

b

的值等于

,

则

{

m

?

n

?

2

a

2

,解得

a

?

4 2,

c

?

m

2

?

n

2

?

4 c

c

?

5

a

4











故选C.
5．C

【解析】由题知,

2

a

?

2,2 c

?

2 3,

则

b

2

?

c

2

?

a

2

?

2,

b

?

2

,则双曲线的渐近线方程为

a

y

??

2

x

,故选C.

6．C

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【解析】∵双曲线

∴双曲线的渐近线方程为

∵直线： 与双曲线：

交于不同的两点

∴斜率的取值范围是 ，故选C

7．B

【解析】

如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，可得

，解得，取，可得点到直线的距离，即有

，解得，，则焦距为，故选B.

【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质、点到直线的距离公式求椭圆的定义，属于

难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联

想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间

的关系，挖掘出它们之间的内在联系.解答本题的关键是利用椭圆的对称性得到

，从而利用椭圆的定义求解.

8．D

【解析】设椭圆方程为，由椭圆长轴右顶点为可得椭圆方

程可以化为，把直线代入得，设，则

的中点的横坐标为， ，解得椭圆的标准方程是

，故选D.

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9．D

【解析】椭圆

，可得

，椭圆

的左顶点

到右焦点

的距离为，故选D.

10．A

【解析】双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为

，本题中

，得渐近线方程为

，故选A.

11．A

【解析】因为AO 分别是

F B 1，F F 1 2

的中点，所以

AO

∥

BF 2

，故

BF 2

?

F F 1 2

，在

Rt F F B 1 2

中，

?BF F 1 2

?

30?

,设

BF 2

?

x

，则

BF 1

?

2

x

，又

2

x

?

x

?

2

a

，即

x

?

2

a

，由

tan30??

x












2 c

得

x ?

2 3 c

，所以

2

a ?

2 3 c

，

e

?

c

?

3

，故选A.

3

3

a

12．2或5

【解析】双曲线

x

2


?

y

2


?


m

?

2


m

?

1





1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，

可得

c2=a2+b2=3+2m，双曲线

x

2


?

y

2


?

1

的离心率为


7

，所以

m

?

2


m

?

1




2

3

?

2

m

?

7

?

m

?

2

m

?

2


4




7

?

m

??5

当焦点在y 轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，所以

??

2

m

?

?

m

?

1


4



故答案为2 或-5．

点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，

所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出

a b 2

2

，

c

2

即可得解

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13．

【解析】∵

∴在双曲线的右支，即

在中，，，，

∴

在中，，，

∴

∵

∴，即

∴

点睛：解决双曲线的离心率的求值或取值范围问题其关键是确立一个关于

的方程或

不等式，再根据

的关系消掉得到关于

的方程或不等式，或通过双曲线的几何性

质直接找出关于的方程或不等式即可.

14．

【解析】椭圆的，由椭圆的定义，可得，则三角形

的周长为，若，则，故答案为.

15．

WORD格式



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【解析】

由椭圆

方程可知，

，

点在椭圆上，

为椭圆的左右焦点，

，

在

中

，

，，

又在中，，故答案为.

16．2

【解析】由题意，

?

AOF

是等边三角形，

?

b

?

3，

a

∴双曲线

C

的离心率为

e

?

1

?

b

2

?

1 3

?．

a

2

故答案为2．

．

x

2

?

y

2

?

1




















?


n


1


17

4


3





















m

9

?


【解析】设椭圆

C

的方程为

mx

2

?

ny

2

?

1

?

m n

?

0且m

?

n

?

,则

{


4



,解得

3 m

?

3

n

?

1




















4




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m

?

1

,则其标准方程为

x

2

?

y



1

,故填

x





?




{


4

2

?

2

?

y

2

1


.


n

?

1

4

3


4


3






3


且

m ?

2

,


18．

?1,2

?

?

?

2,3

?

【解析】方程表示椭圆，则

m

??

0

m

?

1

{ 3

?

m

?

0

，

{

m

?

3

，即：

1

?

m

?

3

m

??

3

?

m

m

?

2

则m 的取值范围是

?1,2

?

?

?

2,3

?

.

19．10

【解析】

2 b

?

6,

b

?

3,2 c

?

8,

c

?

4,

a

2

?

b

2

?

c

2

?

3 2

?

4

2

?

25,

a

?

5,2

a

?

10

.

20．

?

1

3

【解析】椭圆

x

2

?

y

2

?

1

的右焦点为

?

3,0

?

，所以

3 a

?

0 1??

0,

a

??

1

25

16

3

21．

2
2

【解析】双曲线

x

2

?

y

2

?

1

的顶点

?

?1,0

?

到其渐近线

y

??

x

的距离为

??1 0

?

2

2

2

22．

【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为

∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，

在椭圆

上，

，

WORD格式



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∴椭圆方程为：

故答案为：

23．（1）

（2）

【解析】试题分析：（1）由已知，先确定

的值，进而求出

，可得椭圆的标准方程

（2）由已知可得双曲线焦点在轴上且

，将点

代入双曲线方程，可求出

，即得双曲线的标准方程

试题解析：

（1）由椭圆的离心率为

，短轴一个端点到右焦点的距离为4，得

，即

（2）因为双曲线过点，一个焦点为，所以即

．(1

x

2

?

y

2

?

1


x

?

y

??

0

或

x

?

y

??

0

．

24

2






;(2)





【解析】试题分析:(1) 设椭圆

E

的方程为：

x

2

?

y

2

?

1


a

?

b

?

0)

，根据已知点和离心

a

2


b

2







率列方程解出a,b,求出椭圆的方程;(2) 由已知直线过左焦点l

F ??1,0

?

, 当直线与l

x

轴垂

直时，经检验不合题意; 当直线与l

x

轴不垂直时，设直线的方程为l ：

y

?

k x?

?

1?

,与椭

圆方程联立,消去y,得出关于x的一元二次方程,写出韦达定理,根据面积公式求出k的值,

可得直线方程.

试题解析:

（1）设椭圆

E

的方程为：

x

2

?

y

2

?

1

(

a

?

b

?

0)

，




a

2


b

2










WORD格式



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由已知：

{

a

2

?

b

2

?

1

1

得：

a ?

2

，

b ?

1

，




a

2

2




6

2

?

1

2

?

4

a

4 b




所以，椭圆

E

的方程为：

x

2

?

y

2

?

1

.

2

AB ?

2

，

（2）由已知直线过左焦点l

F ?? 1,0

?

．

①当直线与l

x

轴垂直时，

A???

?

??

2

????

，

B???

?

2?1, 2

????

，此时

2

则

S?OAB

?

1

?

2 1??

2

，不满足条件．

2

2

②当直线与l

x

轴不垂直时，设直线的方程为：l

y

?

k x?

?

1?

由

{

y

?

k x?

?

1?

得

?1

?

2

k

2

?

x

2

?

4

k x 2

?

2

k

2

?

2

?

0

x

2

?

y

2

?

1

2




所以

x 1

?

x 2

4???

k

2

2

，

x x 1 2

?

2

k

2

?

2

，

2

k

1

?

2

k

2




而

S

?OAB

?

1

OF

?

y 1

?

y

2

?

1

y 1

?

y

2

，

2

2

，



由已知

S?OAB


2

得


3

y 1

?

y 2

?

4


3

，

所以

?1

4

k

2

2

?

2

?

1

4

k

2

2

?

16

，则

k

4

?

k

2

?

2

?

0

，所以

k ??1

?

2

k

?

2

k

9







所以直线的方程为：l

x

?

y

??

0

或

x

?

y

??

0

．

点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

25．（1）；（2）.

的最小值为通径

可

【解析】试题分析：（1）由

，利用椭圆的简单性质，可得

WORD格式



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求出的值，从而得到椭圆方程；（2）设

与

，联立，设

，利用韦达定理以及判别式，结合，列方程求出，即可得到直线方程.

试题解析：（1）由题意得，且∴，故椭圆方程为

，

（2）设与联立得：，

设，，则，

由得，，

即∴∴

：．

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