高数问题
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发布时间：2022-04-23 06:33
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时间：2023-10-17 19:52
(为方便，这里以f(n,x)表示f(x)的n阶导数）
设f(x)=x^(n+1)-(a0+a1x+a2x^2+..........+anx^n)
当x∈(0,﹢∞)时，x^i>0(i=0,1,2……,n)
（1）f(0) = -a0<0
（2）当x>(a0+a1+a2+……+an)，且x>1时
x^n>x^(n-1)>……>x^2>x>1
f(x)=x·x^n - (a0+a1x+a2x^2+..........+anx^n)
>(a0+a1+a2+……+an)x^n - (a0+a1x+a2x^2+..........+anx^n)
=a0(x^n-1)+a1(x^n-x)+a2(x^n-x^2)+..........+an(x^n-x^n)
>a0·0+a1·0+a2·0+……+an·0=0
即当x>(a0+a1+a2+……+an)，且x>1时，f(x)>0
（3）取x’≥(a0+a1+a2+……+an)，且x‘>1
f'(x) = (n+1)x^n - (a1+2·a2x+3·a3x^2..........+n·anx^(n-1))，f'(0)= -a1 <0
f'(x) > (n+1)x^n - ((n+1)a1+(n+1)·a2x+(n+1)·a3x^2..........+(n+1)·anx^(n-1))
=(n+1)(x^n - (a1+a2x+..........+anx^(n+1))，同（2），当x'时，f'(x)>0
f''(x)=n(n+1)x^(n-1) - (2a2+ 2·3a3x +……+n(n-1)·anx^(n-2)，
f''(0) = -2a2<0，当x>x’时，f'‘(x)>0
……
f(n,x) = (n+1)! x - n!·an，
f(n,0)=-n!<0，同上，当x>x'时，f(n,x)>0
f(n+1,x)= (n+1)! > 0
由上可知f(0), f'(0), f''(0), ……f(n,0)均小小于0，但f(n+1,0)>0
且f(x'), f'(x'), f''(x'), ……f(n,x')>0
（4）由于f(n+1,x)>0，所以f(n,x)为单调函数，有f(n,x’)>0
根据零点定理f(n,x)在(0,x')时有且仅有一个零点x(n)，当x>x‘时，f(n,x)>0没有零点
所以f(n,x)在(0,﹢∞)时有且仅有一个零点x(n)
当0<x<x(n)时，f(n,x)<0, f(n-1,x)递减，f(n-1, x(n))<f(n-1,0)<0，f(n-1,x)没有零点
当x(n)<x<x‘时，f(n,x)>0,f(n-1,x)递增，f(n-1, x(n))<0，且f(n-1,x')>0，
f(n-1,x)有且仅有一个零点x(n-1)
当x>x'时，f(n,x)>0,f(n-1,x)递增，且f(n-1,x')>0，f(n-1,x)没有零点
所以f(n-1,x)在(0,﹢∞)时有且仅有一个零点x(n-1)
同理，f(n-2,x)在(0,﹢∞)时有且仅有一个零点x(n-1)
……
f''(x)有且仅有一个零点x(2)
f'(x)有且仅有一个零点x(1),
f(x)有且仅有一个零点x(0) 。
证毕！
（不好意思，证明是一个逐阶导数类推的过程，表述的不是很严密，但是函数的实际情况又是这样，坐等高人改善）
