对数运算性质3如何推导
发布网友
发布时间：2022-04-23 04:47
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热心网友
时间：2023-10-15 06:22
对数的性质及推导
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数
*表示乘号，/表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
推导
1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
mn=m*n
由基本性质1(换掉m和n)
a^[log(a)(mn)]=a^[log(a)(m)]*a^[log(a)(n)]
由指数的性质
a^[log(a)(mn)]=a^{[log(a)(m)]+[log(a)(n)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n)
3.与2类似处理
mn=m/n
由基本性质1(换掉m和n)
a^[log(a)(m/n)]=a^[log(a)(m)]/a^[log(a)(n)]
由指数的性质
a^[log(a)(m/n)]=a^{[log(a)(m)]-[log(a)(n)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n)
4.与2类似处理
m^n=m^n
由基本性质1(换掉m)
a^[log(a)(m^n)]={a^[log(a)(m)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(m^n)]=a^{[log(a)(m)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)
推导如下
n=a^[log(a)(n)]
a=b^[log(b)(a)]
综合两式可得
n={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}
又因为n=b^[log(b)(n)]
所以
b^[log(b)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(n)=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导完）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
热心网友
时间：2023-10-15 06:22
哪个性质？
用定义，严格推理
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
设a^n=M
so
n=loga(M)
loga(M^n)=loga(a^n^2)=n^2=nloga(M^n)
得证
热心网友
时间：2023-10-15 06:23
性质三说的什么呀。追问（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
