系统演化的非线性动力学模型
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发布时间：2022-04-21 23:48
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时间：2023-12-01 14:20
在以上分析中，我们考虑了系统的准静态运动过程，但没有考虑失稳的动力学过程。下面我们将建立煤柱-顶板系统演化的非线性动力学模型，研究系统的动力学行为。
一、非线性动力学模型
对煤柱应变软化介质，如果考虑其黏滞或蠕变属性（图10-7），则其应力可表示为：
非线性岩土力学基础
式中，η为黏滞系数。把上式变为荷载的表达式，并代入平衡曲面方程（10-10），得到：
非线性岩土力学基础
上式可进一步变为：
非线性岩土力学基础
式（10-29）是一个各参数具有明确意义的非线性动力学模型，或称为物理预报模型，只要根据室内实验和现场调查确定了各力学与几何参数，就能对系统的变形规律作出预测。
从以上分析可知，a值表示失稳的可能性与难易程度，a≤0且越小时，越易失稳；从式（10-26）知，b值表示系统演化的蠕变阶段，b＜0 表示在加速蠕变阶段。由式（10-29）知，无量纲位移速率由a、b值的变化所决定。在某一个x（x＞0）值时，a（a＜0）与b（b＜0）值越小，即系统越接近失稳点，位移速率越大。
现在，我们研究式（10-29）在平衡态的性质，令dx/dt=0，可知，式（10-29）也是一个尖点突变，其失稳的充要条件也是D=4a3+27b2=0。
图10-7 考虑黏滞力的应力模型
从式（10-29）可看出，无量纲的位移x由系统本身的力学参数与几何参数决定。如几何参数不变时，系统力学参数的变化将反映在（x，t）关系曲线上，所以，顶板沉降观测时间序列曲线蕴含了力学参数变化的信息，有可能根据顶板沉降观测序列反演系统的力学参数。
二、非线性动力学模型的反演
如果我们有观测时序数据，即知道方程（10-29）的一系列特解，那么可根据观测数据反演其非线性动力学模型进行预测，其预测步骤如下：
（1）因为实测的序列为（x，t），所以必须把（x，t）序列转换为（u，t）序列。
把式（10-11）代入式（10-29），得到：
非线性岩土力学基础
式中，
非线性岩土力学基础
非线性岩土力学基础
c2=-3c/u1（10-33）
c3=（3+a）c （10-34）
c4=［b-（a+1）］cu1（10-35）
（2）对方程（10-30）求解
根据观测序列，可对方程（10-30）求解，反演算出各常数值，这说明我们有可能根据（u，t）时序观测数据反演力学参数。值得注意的是，用通常的最小二乘法解方程（10-30），其解常常是不稳定的，可用我们在第四章提出的改进Backus广义线性反演理论求解。求解后，可算出a、b值，进行预测。再根据D值的变化判断系统的稳定性。
三、实例分析
木城涧矿千军台坑741003工作面［19］，煤层平均厚度为2.6m，顶板由层状的细砂岩及粉砂岩组成，坚硬呈脆性，单向抗压强度在100Mpa以上。直接顶总厚度为5m，为粉砂岩；老顶总厚度为7～10m，为粉细砂岩。用DKJ-D-1自动监测系统监测声发射和顶板沉降，监测系统每半小时自动采集一次数据，并整理为按班（每8 小时为一班）的平均数据曲线（如图10-8所示）。冲击地压发生时间为18日8时。
根据观测数据，反演出系统的非线性动力学模型如下：
非线性岩土力学基础
预测出的位移值如图10-8所示，可看出预测效果比较理想。分别取起始点到某个计算点的数据逐次反演，可算出一系列（a，b，D）值。从图10-8发现，开始D值呈比较稳定的变化，然后急剧速增出现一峰值点（约为稳定变化时的5000倍），在临近失稳时，D＜0（b＜0）并接近于零。我们可以根据这一特殊现象，判断冲击地压的发生。这种现象与滑坡的D值演化特征（见第七章）类似。
图10-8 木城涧矿千军台坑741003工作面顶板沉降观测记录
