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课程基础:微积分、线性代数、常微分方程、复变函数与积分变换
参考书籍:《数学物理方程与特殊函数》(第三版)华中科技大学数学与统计学院编写
常微分方程:描述未知函数仅与一个自变量相关的微分方程
偏微分方程:涉及多个自变量及未知函数的偏导数的方程
偏微分方程的阶:方程中最高阶偏导数的阶数
线性偏微分方程:未知函数及其各阶偏导数的线性组合
定义线性偏微分方程时,需考虑线性算子作用于未知函数的表达式,确保方程整体线性
自由项:线性偏微分方程中不含未知函数及其偏导数的项
齐次偏微分方程:方程形式简化,只含未知函数偏导数
数学物理方程:源于自然科学与技术科学的偏微分方程,反映物理量之间的关系
特殊函数:不能简单表示为初等函数的复杂函数,如[公式] 函数
以下几类典型偏微分方程需了解:弦振动方程、热传导方程、拉普拉斯方程
弦振动方程:分析均匀柔软的弦在外力作用下的微小横振动,利用理想化假设导出方程
自由振动:证明张力为常数,通过受力分析与牛顿第二定律,推导弦的自由横振动方程
受迫振动:考虑外力作用,通过积分中值定理,导出弦的强迫横振动方程
热传导方程:通过温度升高的式子和傅里叶热传导定律,推导方程及定解条件
拉普拉斯方程:描述热场或静电场等稳定过程,对应非齐次拉普拉斯方程为泊松方程
定解条件:物理过程分析需考虑初始条件、边界条件,如弦振动的边界条件分为三类
基本概念:古典解、叠加原理、定解问题的分类等
二阶线性偏微分方程分类:根据参数与0的关系,分为双曲型、抛物型、椭圆型
本章小结:掌握弦振动方程、热传导方程、拉普拉斯方程及其物理意义,理解基本概念与分类,了解傅里叶级数与补充知识