A、B是椭圆x2+y22=1上的点,O为原点,OA与OB斜率的乘积等于-2,OC=OA+OB...
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发布时间：2024-12-17 19:10
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时间：2024-12-17 20:04
（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），则x12+y212＝1，x22+y222=1，
且kOA?kOB=y1x1?y2x2＝?2，即2x1x2+y1y2=0，…（2分）
OC＝OA+OB，即(x，y)＝(x1，y1)+(x2，y2），
于是x=x1+x2，y=y1+y1，
∴x2=（x1+x2）2
=x12+x22+2x1x2=（1-y122）+（1-y222）-y1y2=2-12（y1+y2）2=2-12y2，
变形可得x22+y24=1，
于是，C在椭圆x22+y24=1上． …（5分）
（II）设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-2k，
点A坐标方程组x2+y22＝1y＝kx的解，得x21＝2k2+2，同理x22＝k2k2+2，∴|x1x2|=2|k|k2+2．…（8分）
|OA|=1+k2|x1|，|OB|＝1+(?2k)2|x2|＝k2+4|k||x2|，
tan∠AOB=|k?(?2k)1+k?(?2k)|＝k2+2|k|?sin∠AOB＝k2+2(k2+1)(k2+4)，
S=2S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
=1+k2|x
