点a在平面α内,但点B在平面β外怎么画
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发布时间：2024-12-18 06:04
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时间：2024-12-21 16:35
平面1．平面的特点："平"、"无限延展"、"无厚薄"。2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面,被遮部分的线段画成虚线或不画。注意：水平平面画两横边，横边为邻边的两倍，锐角画成45°；直立平面画两竖边． 3．平面的表示法 ⑴希腊字母α、β、γ前面加"平面"二字，如平面α等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内⑵用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD⑶用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC．4．点、直线、平面之间的基本关系： 把直线、平面看成是点的集合，借用集合中的符号语言来表示,读法上仍用几何语言．
练习：观察图形，用模型来说明它们的位置有什么不同，并用字母表示各平面．附注：讲评时，用书作示意，对直线的可见部分与不可见部分加以区别．对可见棱与不可见棱加以区别．练习：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a经过不属于平面α的点A，且a不在平面α内；(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P；（4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M．
平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线． 用集合符号表示：(证线、点在面内依据)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 用集合符号表示：P∈α,P∈β==>α与β必相交(证两平面相交依据) (证点在面内依据)公理3：经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． ?"有且只有一个平面"，我们也说"确定一个平面"．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图6）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图7）?应用平面的基本性质证明空间点和直线的共面问题．例：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图8） 已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C． 求证：直线AB，BC，AC共面． ?方法：证"空间的点、直线共面"可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它的元素也在这个面内． 小结：证"直线在平面内"只要证直线上有两点在平面内； 证"两个平面相交"只要证两平面有一个公共点； 证"点在平面内"可证该点在平面内的一条直线上； 证"点在直线上"可证点为两平面公共点,直线上为两平面交线；
例：△ABC三边延长线与平面α分别交于D、E、F，求证：D、E、F在一条直线上。例：三平面α、β、γ相交如图,A、B∈α,C∈β, 试作出过ABC三点的平面与α、β、γ的交线。
平面的基本性质公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．例：在正方体ABCD－A1B1C1D1中． （1）AB与C1D1是什么位置关系？为什么？ （2）A1D1与BC是什么样的位置关系？为什么？ （3）如果M、N分别为B1B、C1C的中点，问A1D1与MN是什么位置关系？ （4）AC与A1C1是什么位置关系？为什么？ （5）AD1与BC1是什么位置关系？为什么？例：梯形ABCD沿中位线EF折起成空间图形ABEC1D1F,求证：⑴AD1,BC1所在直线相交(记交点为P)；⑵设AD、BC交于R,EC1、FD1交于Q,则P、Q、R三点共线。
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同, 则这两个角相等。 证明：构作两个三角形,证全等。 思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反呢？ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组对应边同向另一组对应边反向呢？推论：两条相交直线与另两条相交直线分别平行,则两组相交直线所成的锐角或直角相等注意：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用(1)"垂直于同一直线的两直线平行"在立体几何中不成立．(2)"两组对边相等的四边形是平行四边形"在立体几何中不成立．(3)"四边相等的四边形是菱形"在立体几何中不成立．(4)"三个角是直角的四边形是矩形"这个平面几何中的定理在立体几何中也不成立，可以发现"空间四边形四内角和小于360°"这是立体几何中的一个定理．
异面直线两直线位置关系：异面直线所成的角定义：直线a，b是异面直线，过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角定理：一直线垂直于平行直线中的一条，也垂直于另一条．异面直线所成的角θ角的取值范围：θ∈（0°，90°]．例：正方形ABCD－A1B1C1D1．求： （1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？ （2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？ （3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？ （4）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？ 定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线． 异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度， 例：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求： （1）异面直线A1A与BC的距离； （2）异面直线A1A与C1D1的距离； （3）异面直线A1B1与BC的距离．（如图） 例：正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a． （1）哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？(证明两条直线是异面直线的方法有哪两个)． （2）求直线BA′和CC′所成的角的大小； （3）求异面直线BC和AA′的距离．
直线和平面平行线面位置关系线面平行判定定理：平面外的一直线如果和平面内一直线平行,则平行这个平面。 证明：反证法──可多种思路：⑴与公理4矛盾,⑵与公理2矛盾,⑶与a//b矛盾,(4)与a在α内矛盾强调：⑴要证"线面平行"只要证"线线平行"； ⑵三个条件缺一不可。提问："一直线如果和平面内一直线平行,则平行这个平面"正确吗？例：(1)。空间四边形ABCD中,AB、AD中点分别为E、F,求证EF//面BCD。 (2)。点P为平行四边形ABCD面外一点,PB中点为M,求证PD//面MAC。 (3)。空间四边形ABCD中,P,Q分别是△ABC,△ADC的重心,求证PQ//面BCD。 3。探求线面平行的结果(性质)──"线面平行"是否意味着平行平面内的任一直线？只平行哪些线？线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。证明：a,b共面且没有公共点,故平行。强调：已知"线//面"时，过线作面得交线，化为"线//线"。 a//?a//b 例：⑴己知平面α∩β=b,a//α,a//β,求证：a//b。 ⑵异面直线AB、CD在平面α两侧,都平行平面α, 若AC、BD与α交于M、N两点,求证：。 ⑶三个平面两两相交,求证三条交线交于一点或互相平行 (4)有公共边AB而不共面的两矩形ABCD和ABEF中,P、Q分别 为对角线AE、BD上的点,且AP=DQ，求证：PQ//面CBE。
两个平面平行1。两个平面的位置关系小结引入：看公共点个数分类线与线；线与面；面与面画法与表示：α//βα∩β=a2。两个平面平行的判定定理引入： ⑴若两平面平行，线面关系如何？ ⑵反之，一个平面内的所有直线与另一平面都平行,两平面平行吗？ ⑶平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗？ 平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗？ 平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗？ 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两个平面平行。 证明：作图、己知、求证(反证法,结合"线//面==>线//线") 说明：⑴关键在于找到两相交直线都平行于另一个平面 ⑵线//线==>线//面
